Question

Найдите сумму всех целых чисел, при которых верно неравенство |x+1|<3 помогите решить

Answer 1

Я сам сижу на этом вопросе

Answer 2

Конечно, давайте решим неравенство \( |x + 1| < 3 \) подробно.

Неравенство \( |x + 1| < 3 \) означает, что расстояние между \( x + 1 \) и 0 (на числовой оси) меньше 3. Это можно разбить на два случая, в зависимости от знака \( x + 1 \).

1. Если \( x + 1 \geq 0 \) (т.е. \( x \geq -1 \)), тогда неравенство упрощается до \( x + 1 < 3 \).

2. Если \( x + 1 < 0 \) (т.е. \( x < -1 \)), тогда неравенство упрощается до \( -(x + 1) < 3 \).

Рассмотрим каждый случай:

1. \( x + 1 < 3 \): \[ x < 2 \]

2. \( -(x + 1) < 3 \): Умножим обе стороны на -1 и поменяем знак: \[ x + 1 > -3 \] Вычтем 1: \[ x > -4 \]

Теперь объединим результаты обоих случаев. Нам нужны значения \( x \), которые удовлетворяют обоим условиям \( x < 2 \) и \( x > -4 \). Таким образом, решение неравенства: \[ -4 < x < 2 \]

Сумма всех целых чисел в этом интервале будет равна сумме арифметической прогрессии. Формула суммы арифметической прогрессии: \[ S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] где \( n \) - количество членов прогрессии, \( a_1 \) - первый член, \( a_n \) - последний член.

В нашем случае \( a_1 = -3 \) (минимальное значение в интервале), \( a_n = 1 \) (максимальное значение в интервале), а количество членов \( n = a_n - a_1 + 1 \).

Вычислим: \[ n = 1 - (-3) + 1 = 5 \] \[ S = \frac{5}{2} \cdot (-3 + 1) = \frac{5}{2} \cdot (-2) = -5 \]

Таким образом, сумма всех целых чисел, удовлетворяющих условию \( |x + 1| < 3 \), равна -5.