Question

Помогите пожалуйста решить F(x)=x/5 - 4/x есть. Первообразная функции f(x)= 1/5+4/x^2 на промежутке ( 0 ; бесконечность.)

Answer 1

Это действительно так, поскольку  $F'(x)=f(x)$ .

$F'(x)=(\frac{x}{5}-\frac{4}{x})'=(\frac{1}{5}\cdot x)'-(4\cdot x^{-1})'=\frac{1}{5}-4\cdot (-x^{-2})=\frac{1}{5}+\frac{4}{x^2}$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции \( F(x) \) от \( f(x) \) необходимо проинтегрировать функцию \( f(x) \).

Имеется функция:

\[ f(x) = \frac{1}{5} + \frac{4}{x^2} \]

Чтобы найти первообразную этой функции, нужно выполнить интегрирование каждого члена функции по отдельности.

\[ \int \frac{1}{5} \,dx + \int \frac{4}{x^2} \,dx \]

Интеграл от константы \( \frac{1}{5} \) по \( x \) равен \( \frac{1}{5}x \).

Теперь проинтегрируем второе слагаемое \( \frac{4}{x^2} \):

\[ \int \frac{4}{x^2} \,dx \]

Это можно записать как \( 4 \int x^{-2} \,dx \).

Интегрируя \( x^{-2} \), получаем \( -x^{-1} \) (так как \( \int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \)). Таким образом,

\[ \int \frac{4}{x^2} \,dx = -4x^{-1} = -\frac{4}{x} \]

Итак, первообразная функции \( f(x) \) равна:

\[ F(x) = \frac{1}{5}x - \frac{4}{x} + C \]

где \( C \) - произвольная постоянная.

Теперь, учитывая интервал от \( 0 \) до \( +\infty \), у нас есть нижний предел интегрирования \( 0 \) и верхний предел \( +\infty \).

Когда \( x \) стремится к бесконечности, первый член \( \frac{1}{5}x \) будет стремиться к бесконечности, а второй член \( -\frac{4}{x} \) будет стремиться к \( 0 \). Таким образом, первообразная \( F(x) \) на промежутке от \( 0 \) до \( +\infty \) будет:

\[ F(x) = \lim_{{x \to +\infty}} \left( \frac{1}{5}x - \frac{4}{x} \right) + C \]

Поскольку предел \( \frac{1}{5}x \) стремится к бесконечности, а предел \( -\frac{4}{x} \) стремится к \( 0 \), первообразная \( F(x) \) на интервале от \( 0 \) до \( +\infty \) будет:

\[ F(x) = \lim_{{x \to +\infty}} \left( \frac{1}{5}x - \frac{4}{x} \right) + C = +\infty + C \]

Таким образом, первообразная функции \( f(x) \) на интервале \( (0, +\infty) \) равна \( F(x) = +\infty + C \), где \( C \) - произвольная постоянная.