Question

Найдите наименьшее положительное значение параметра а , при котором система уравнений имеет единственнное верное решение {y-модуль(модуль(х)-2) = 0 {y-ax-5a+1=0

Answer 1

Преобразуем эти уравнения
{ y = | |x| - 2|
{ y = ax + 5a - 1

1) Если x < 0, то |x| = -x, тогда y = |-x - 2| = |x + 2|

1a) Если x < -2, то y = |x + 2| = -x - 2
Подставляем во 2 уравнение
-x - 2 = ax + 5a - 1
-5a - 1 = ax + x = x(a + 1)
x = (-5a - 1)/(a + 1) < -2
(-5a - 1)/(a + 1) + 2 < 0
(-5a - 1 + 2a + 2)/(a + 1) < 0
(-3a + 1)/(a + 1) < 0
Получаем
a ∈ (-oo; -1) U (1/3; +oo) - в этой области есть решение:
x = (-5a - 1)/(a + 1)
y = -x - 2 = (5a + 1)/(a + 1) - 2 = (5a + 1 - 2a - 2)/(a + 1) = (3a - 1)/(a + 1)

1b) Если x ∈ [-2; 0), то y = |-x - 2| = |x + 2| = x + 2
x + 2 = ax + 5a - 1
-5a + 3 = x(a - 1)
x = (-5a + 3)/(a - 1) ∈ [-2; 0)
{ (-5a + 3)/(a - 1) >= -2
{ (-5a + 3)/(a - 1) < 0
Переносим все налево
{ (-5a + 3)/(a - 1) + 2 = (-5a + 3 + 2a - 2)/(a - 1) = (-3a + 1)/(a - 1) >= 0
{ (-5a + 3)/(a - 1) < 0
Решаем
{ a ∈ [1/3; 1)
{ a ∈ (-oo; 3/5) U (1; +oo)
Получаем
a ∈ [1/3; 3/5) - в этой области есть решение:
x = (-5a + 3)/(a - 1)
y = x + 2 = (-5a + 3)/(a - 1) + 2 = (-5a + 3 + 2a - 2)/(a - 1) = (-3a + 1)/(a - 1)

2) Если x >= 0, то |x| = x; тогда y = |x - 2|

2a) Если x ∈ [0; 2), то y = |x - 2| = 2 - x
2 - x = ax + 5a - 1
-5a + 3 = ax + x = x(a + 1)
x = (-5a + 3)/(a + 1) ∈ [0; 2)
{ (-5a + 3)/(a + 1) >= 0
{ (-5a + 3)/(a + 1) < 2
Переносим все налево
{ (-5a + 3)/(a + 1) >= 0
{ (-5a + 3)/(a + 1) - 2 = (-5a + 3 - 2a - 2)/(a + 1) = (-7a + 1)/(a + 1) < 0
Решаем
{ a ∈ (-1; 3/5]
{ a ∈ (-oo; -1) U (1/7; +oo)
Получаем
a ∈ (1/7; 3/5] - в этой области есть решение
x = (-5a + 3)/(a + 1)
y = 2 - x = 2 - (-5a + 3)/(a + 1) = (2a + 2 + 5a - 3)/(a + 1) = (7a - 1)/(a + 1)

2b) Если x >= 2, то y = |x - 2| = x - 2
x - 2 = ax + 5a - 1
-5a - 1 = ax - x = x(a - 1)
x = (-5a - 1)/(a - 1) >= 2
(-5a - 1)/(a - 1) - 2 >= 0
(-5a - 1 - 2a + 2)/(a - 1) >= 0
(-7a + 1)/(a - 1) >= 0
Получаем
a ∈ [1/7; 1) - в этой области есть решение
x = (-5a - 1)/(a - 1)
y = x - 2 = (-5a - 1)/(a - 1) - 2 = (-5a - 1 - 2a + 2)/(a - 1) = (-7a + 1)/(a - 1)

Получаем следующее:
Если a ∈ (-oo; -1) U (1/3; +oo), то x = (-5a - 1)/(a + 1); y = (3a - 1)/(a + 1)
Если a ∈ [1/3; 3/5), то x = (-5a + 3)/(a - 1); y = (-3a + 1)/(a - 1)
Если a ∈ (1/7; 3/5], то x = (-5a + 3)/(a + 1); y = (7a - 1)/(a + 1)
Если a ∈ [1/7; 1), то x = (-5a - 1)/(a - 1); y = (-7a + 1)/(a - 1)

Наименьшее положительное значение а, при котором промежутки не пересекаются, и система имеет одно решение:
a0 = 1/7.

Answer 2

Для нахождения наименьшего положительного значения параметра а, при котором система уравнений имеет единственное верное решение, нам нужно решить данную систему уравнений и анализировать полученные результаты.

Система уравнений: 1) y - | |x - 2| | = 0 2) y - ax - 5a + 1 = 0

Давайте решим эту систему уравнений поэтапно.

Шаг 1: Рассмотрим первое уравнение: y - | |x - 2| | = 0

Для начала, заметим, что выражение | |x - 2| | представляет собой модуль от значения выражения |x - 2|. Так как модуль всегда возвращает неотрицательное значение, то внутренний модуль |x - 2| будет всегда неотрицательным числом.

Теперь рассмотрим два случая: Случай 1: |x - 2| >= 0 В этом случае, модуль от неотрицательного числа равен самому числу. То есть, | |x - 2| | = |x - 2|.

Подставим это обратно в наше уравнение: y - |x - 2| = 0

Случай 2: |x - 2| < 0 В этом случае, модуль отрицательного числа равен его противоположному значению, умноженному на -1. То есть, | |x - 2| | = -1 * (x - 2) = -x + 2.

Подставим это обратно в наше уравнение: y - (-x + 2) = y + x - 2 = 0

Шаг 2: Теперь рассмотрим второе уравнение: y - ax - 5a + 1 = 0

Мы можем переписать это уравнение следующим образом: y = ax + 5a - 1

Шаг 3: Теперь объединим оба случая вместе и решим систему уравнений.

Случай 1: y - |x - 2| = 0 y = ax + 5a - 1

Подставим значение модуля из первого случая во второе уравнение: ax + 5a - 1 = ax + 5a - 1

Видим, что значения ax и 5a сокращаются на обоих сторонах уравнения, и остается только -1 = -1. Это значит, что любое значение параметра а удовлетворяет этой системе уравнений.

Случай 2: y + x - 2 = 0 y = ax + 5a - 1

Подставим значение модуля из второго случая во второе уравнение: ax + 5a - 1 + x - 2 = ax + 5a + x - 3 = 0

Теперь объединим все слагаемые с x и с a: (1 + a)x + (5 + a) = 3

Система уравнений: (1 + a)x + (5 + a) = 3 y + x - 2 = 0

Для того, чтобы система имела единственное верное решение, коэффициенты при x должны быть равными нулю. То есть, (1 + a) = 0.

Решим это уравнение: 1 + a = 0 a = -1

Таким образом, наименьшее положительное значение параметра a, при котором система уравнений имеет единственное верное решение, равно -1.

Пожалуйста, обратите внимание, что моя ответственность заключается в генерации кода и предоставлении математических объяснений. Вам все равно придется самостоятельно решить систему уравнений, чтобы получить окончательный ответ.