Question

Lim (x стремится к 0) (1+2x)^(5/x) ответ не должен быть равен нулю

Answer 1

Пусть 2*x=t⇒x=t/2 и 5/x=10/t. А так как x⇒0, то и t=2*x⇒0, и тогда lim(x⇒0) (1+2*x)^(5/x)=lim(t⇒0) (1+t)^(10/t)=lim(t⇒0) [(1+t)^(1/t)]^10. Но lim (t⇒0)  (1+t)^(1/t)=e - второй замечательный предел! Поэтому lim (t⇒0) [(1+t)^(1/t)]^10=lim(t⇒0) e^10=e^10. Ответ: e^10.

Answer 2

$\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+2x)^\frac{5}{x}=1^\infty=[\lim_{x \to 0}(1+\frac{1}{\frac{1}{2x}})^\frac{1}{2x}]^{2x*\frac{5}{x}}=e^{10}$

Answer 3

Для решения данного вопроса, нам нужно проанализировать предел функции при x стремящемся к 0. Функция, которую мы рассматриваем, имеет вид (1 + 2x)^(5/x). Чтобы найти предел данной функции, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя или применить алгебраические преобразования.

Правило Лопиталя:

Для применения правила Лопиталя, нам необходимо вычислить производные функции в числителе и знаменателе и найти их пределы.

Давайте найдем производные:

Производная числителя: d/dx (1 + 2x)^(5/x) = (5/x) * (1 + 2x)^(5/x - 1) * (2)

Производная знаменателя: d/dx x = 1

Теперь найдем пределы производных при x стремящемся к 0:

Предел числителя: lim (x стремится к 0) (5/x) * (1 + 2x)^(5/x - 1) * (2) = 5 * (1)^(5/0 - 1) * (2) = 10

Предел знаменателя: lim (x стремится к 0) 1 = 1

Таким образом, мы получили пределы производных, а именно 10 и 1.

Правило Лопиталя гласит, что если отношение пределов производных числителя и знаменателя существует и равно конечному числу, то это отношение равно пределу исходной функции.

В нашем случае, отношение пределов производных равно 10/1 = 10. Значит, предел исходной функции при x стремящемся к 0 равен 10.

Алгебраические преобразования:

Мы также можем решить этот вопрос, применяя алгебраические преобразования для нахождения предела функции.

Для начала, давайте заменим x на 1/t, где t стремится к бесконечности. Исходная функция теперь будет выглядеть так: (1 + 2(1/t))^(5/(1/t)).

Сделаем преобразование: 1 + 2(1/t) = 1 + 2/t = (t + 2)/t.

Теперь наша функция имеет вид: [(t + 2)/t]^(5/(1/t)).

Далее, мы можем привести эту функцию к более удобному виду, воспользовавшись свойствами степеней и экспонент. Заметим, что 5/(1/t) эквивалентно 5t.

Теперь наша функция будет выглядеть так: [(t + 2)/t]^5t.

По правилу предела функции a^b, когда a стремится к 1 и b стремится к бесконечности, предел равен e^c, где c - предел b*log(a).

Применим это правило к нашей функции: lim (t стремится к бесконечности) [(t + 2)/t]^5t = e^(lim (t стремится к бесконечности) 5t*log((t + 2)/t)).

Теперь мы можем вычислить предел внутри экспоненты. Заметим, что предел t*log((t + 2)/t) при t стремящемся к бесконечности равен 0.

Таким образом, предел исходной функции при x стремящемся к 0 равен e^0 = 1.

Ответ:

Ответ на данный вопрос - предел функции (1 + 2x)^(5/x), при x стремящемся к 0, не равен нулю. Он равен 10, если мы применяем правило Лопиталя, или равен 1, если мы применяем алгебраические преобразования.