Question

Какое наименьшее число при делении и на 3 и на 5 и на 7 дает остаток 0 1 2

Answer 1

Число 7
7 остаток 0
5 остаток 2
3 остаток 1 

Answer 2

Чтобы найти наименьшее число, которое при делении на 3, 5 и 7 дает остаток 0, 1 и 2 соответственно, можно воспользоваться китайской теоремой об остатках (КТО).

Обозначим это наименьшее число как x. Тогда система уравнений будет следующей:

1. \(x \equiv 0 \pmod{3}\) (остаток при делении на 3 равен 0), 2. \(x \equiv 1 \pmod{5}\) (остаток при делении на 5 равен 1), 3. \(x \equiv 2 \pmod{7}\) (остаток при делении на 7 равен 2).

Применяя китайскую теорему об остатках, можно найти решение этой системы. Обозначим модули как \(m_1 = 3\), \(m_2 = 5\), \(m_3 = 7\), а остатки как \(a_1 = 0\), \(a_2 = 1\), \(a_3 = 2\).

1. Найдем \(M = m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105\).

2. Найдем частные от деления \(M\) на каждый из модулей: - \(M_1 = M / m_1 = 105 / 3 = 35\), - \(M_2 = M / m_2 = 105 / 5 = 21\), - \(M_3 = M / m_3 = 105 / 7 = 15\).

3. Найдем обратные элементы \(M_1^{-1}\), \(M_2^{-1}\) и \(M_3^{-1}\) по модулям \(m_1\), \(m_2\) и \(m_3\) соответственно. То есть, найдем числа, такие что \(M_i \cdot M_i^{-1} \equiv 1 \pmod{m_i}\) для каждого \(i\). В данном случае: - \(35 \cdot 2 \equiv 1 \pmod{3}\) (так как \(35 \equiv 2 \pmod{3}\)), - \(21 \cdot 1 \equiv 1 \pmod{5}\) (так как \(21 \equiv 1 \pmod{5}\)), - \(15 \cdot 1 \equiv 1 \pmod{7}\) (так как \(15 \equiv 1 \pmod{7}\)).

4. Теперь соберем решение \(x\) по формуле: \[x \equiv (a_1 \cdot M_1 \cdot M_1^{-1}) + (a_2 \cdot M_2 \cdot M_2^{-1}) + (a_3 \cdot M_3 \cdot M_3^{-1}) \pmod{M}\] Подставим значения: \[x \equiv (0 \cdot 35 \cdot 2) + (1 \cdot 21 \cdot 1) + (2 \cdot 15 \cdot 1) \pmod{105}\] Вычисляем: \[x \equiv 0 + 21 + 30 \pmod{105}\] \[x \equiv 51 \pmod{105}\]

Таким образом, наименьшее число, которое при делении на 3, 5 и 7 дает остаток 0, 1 и 2 соответственно, равно 51.