Question

Найдите точку максимума функции y=(8-x)e^x-12

Answer 1

При x=8 обнуление скобки будет
Ответ: 8

Answer 2

Чтобы найти точку максимума функции \( y = (8 - x)e^x - 12 \), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите первую производную функции \( y \) по переменной \( x \) (производную функции). 2. Решите уравнение \( y' = 0 \) относительно \( x \) для нахождения критических точек. 3. Используйте вторую производную, чтобы определить, является ли каждая критическая точка точкой минимума или максимума.

Начнем с первого шага.

1. Найдем первую производную функции \( y \): \[ y = (8 - x)e^x - 12 \] \[ y' = -e^x + (8 - x)e^x \]

2. Решим уравнение \( y' = 0 \) для нахождения критических точек: \[ -e^x + (8 - x)e^x = 0 \] \[ e^x(8 - x - 1) = 0 \]

Это уравнение имеет два корня: \( x = 1 \) и \( x = 8 \).

3. Теперь используем вторую производную, чтобы определить характер каждой критической точки.

Вторая производная: \[ y'' = -e^x + (8 - x)e^x \]

Подставим \( x = 1 \): \[ y''(1) = -e^1 + (8 - 1)e^1 = -e + 7e = 6e > 0 \]

Подставим \( x = 8 \): \[ y''(8) = -e^8 + (8 - 8)e^8 = 0 \]

Таким образом, точка \( x = 1 \) является точкой минимума, а точка \( x = 8 \) требует дополнительного анализа.

Также можно заметить, что при \( x = 0 \) функция \( y \) принимает значение \( y(0) = 20 \), а при \( x \to +\infty \) функция стремится к нулю. Таким образом, точка \( x = 8 \) скорее всего является точкой максимума.

Итак, точка максимума функции \( y \) находится при \( x = 8 \). Мы можем подставить этот \( x \) обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение \( y \).