Question

Решите (1+x^2)dy+ x(1 + y^2)dx=0

Answer 1

Вот решение !!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения \((1+x^2)dy + x(1+y^2)dx = 0\) мы можем применить метод разделения переменных или метод полных дифференциалов.

Исходное уравнение:

\((1+x^2)dy + x(1+y^2)dx = 0\)

Попробуем выразить \(dy\) через \(dx\) или наоборот.

Рассмотрим слагаемые \((1+x^2)dy\) и \(x(1+y^2)dx\).

Чтобы привести уравнение к виду \(Mdx + Ndy = 0\), где \(M\) и \(N\) — функции от \(x\) и \(y\), необходимо выделить полный дифференциал.

Уравнение не является точным на первый взгляд. Давайте проверим его на точность, вычислив частные производные \(M\) и \(N\) по \(y\) и \(x\) соответственно:

\(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(1+x^2) = 0\)

\(\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x(1+y^2)) = 1+y^2\)

Полученные частные производные не равны друг другу, значит, уравнение не является точным. Однако попробуем использовать интегрирующий множитель, чтобы привести его к точному уравнению.

Интегрирующий множитель \(\mu(x, y)\) должен умножить уравнение так, чтобы оно стало точным. Обычно он равен отношению коэффициента при \(dy\) к частной производной \(N\) по \(x\) или отношению коэффициента при \(dx\) к частной производной \(M\) по \(y\).

В данном случае попробуем использовать множитель \(\mu(x, y) = \frac{1}{(1+x^2)y}\). Умножим исходное уравнение на этот множитель:

\(\frac{1}{(1+x^2)y} \cdot (1+x^2)dy + \frac{1}{(1+x^2)y} \cdot x(1+y^2)dx = 0\)

\( \frac{1}{y} dy + \frac{x}{1+x^2}dx + \frac{xy^2}{1+x^2y}dx = 0\)

Теперь попробуем выразить левую часть уравнения как полный дифференциал:

\(\frac{1}{y} dy + \frac{x}{1+x^2}dx + \frac{xy^2}{1+x^2y}dx = d\left(\ln|y|\right) + d\left(\frac{1}{2} \ln(1+x^2)\right) + d\left(\frac{1}{2}\ln(1+x^2y)\right) = 0\)

Таким образом, мы получили точное дифференциальное уравнение. Теперь можно проинтегрировать обе части уравнения:

\(\ln|y| + \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + \frac{1}{2}\ln(1+x^2y) = C\)

где \(C\) — произвольная постоянная.

Это уравнение является общим решением данного дифференциального уравнения. Если необходимо найти частное решение с начальными условиями, заданными в виде конкретных значений \(x\) и \(y\) при \(C = C_0\), подставьте эти значения и найдите соответствующую константу \(C_0\).