Question

Найдите производные следующих функций: a)y=e^x+x/3+Cosx b)y=e^x*Sinx c)y=Sinx+Cosx/Sinx d)y=Cos(x^2+1)

Answer 1

Решение во вложении.
Красным отметил формулу. ' - это производная.

Answer 2

Конечно, давайте найдем производные данных функций:

a) \(y = e^x + \frac{x}{3} + \cos x\)

Для нахождения производной данной функции используем правила дифференцирования:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (e^x) + \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{3}\right) + \frac{d}{dx} (\cos x)\]

\[\frac{dy}{dx} = e^x + \frac{1}{3} - \sin x\]

b) \(y = e^x \sin x\)

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (e^x \sin x) \]

Используем правило произведения:

\[ \frac{dy}{dx} = e^x \cos x + e^x \sin x \]

c) \(y = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x}\)

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом частного дифференцирования:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{d}{dx}(\sin x + \cos x) \cdot \sin x - (\sin x + \cos x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)}{(\sin x)^2} \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x \sin x - (\sin x + \cos x) \cos x}{(\sin x)^2} \]

d) \(y = \cos(x^2 + 1)\)

Используем правило цепочки для нахождения производной:

\[ \frac{dy}{dx} = -\sin(x^2 + 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) \]

\[ \frac{dy}{dx} = -2x\sin(x^2 + 1) \]

Таким образом, мы нашли производные данных функций:

a) \(\frac{dy}{dx} = e^x + \frac{1}{3} - \sin x\)

b) \(\frac{dy}{dx} = e^x \cos x + e^x \sin x\)

c) \(\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x \sin x - (\sin x + \cos x) \cos x}{(\sin x)^2}\)

d) \(\frac{dy}{dx} = -2x\sin(x^2 + 1)\)