Question

Решите.Даю 70 баллов log2(3x-1)-log2(5x+2)=log2(2x+1)

Answer 1

Одз:
$\left\{\begin{array}{ccc}3x-1\ \textgreater \ 0\\5x+2\ \textgreater \ 0\\2x+1\ \textgreater \ 0\end{array}\right \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc}x\ \textgreater \ \frac{1}{3} \\x\ \textgreater \ -0,4\\x\ \textgreater \ -0,5\end{array}\right \Rightarrow x \in ( \frac{1}{3} ;+\infty)$
решаем:
$\log_2( \frac{3x-1}{5x+2} )=\log_2(2x+1) \\ \frac{3x-1}{5x+2}=2x+1 \\3x-1=(2x+1)(5x+2) \\3x-1=10x^2+4x+5x+2 \\10x^2+6x+3=0 \\D=36-4*3*10=-84\ \textless \ 0 \Rightarrow x \in \varnothing$
Ответ: нет корней

Answer 2

Для решения данного логарифмического уравнения давайте применим некоторые свойства логарифмов. Уравнение имеет вид:

\[ \log_2(3x-1) - \log_2(5x+2) = \log_2(2x+1) \]

1. Используем свойство логарифма: \(\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)\).

\[ \log_2\left(\frac{3x-1}{5x+2}\right) = \log_2(2x+1) \]

2. Применяем обратную функцию логарифма, что дает нам:

\[ \frac{3x-1}{5x+2} = 2x+1 \]

3. Решаем полученное уравнение относительно \(x\):

Умножим обе стороны на \(5x+2\):

\[ 3x-1 = (2x+1)(5x+2) \]

Раскроем скобки:

\[ 3x-1 = 10x^2 + 4x + 5x + 2 \]

\[ 3x-1 = 10x^2 + 9x + 2 \]

Переносим все члены на одну сторону:

\[ 10x^2 + 6x + 3 = 0 \]

Делим все члены на 3:

\[ 10x^2 + 6x + 1 = 0 \]

4. Решаем квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \(a = 10\), \(b = 6\), и \(c = 1\).

\[ D = 6^2 - 4 \cdot 10 \cdot 1 = 36 - 40 = -4 \]

Поскольку дискриминант отрицателен, у уравнения есть два комплексных корня.

5. Корни квадратного уравнения можно найти с использованием формулы:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{-4}}{20} \]

\[ x = \frac{-6 \pm 2i}{20} \]

Где \(i\) - мнимая единица (\(i^2 = -1\)).

Таким образом, уравнение имеет два комплексных корня:

\[ x = \frac{-6 + 2i}{20} \quad \text{и} \quad x = \frac{-6 - 2i}{20} \]

Это окончательный ответ. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.