Question

Найдите первообразную для функции f(x)=3x^2-1, график которой проходит через точку M (1;-1) (с построением графика)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f(x)=3x^2-1

F(x)=∫(3x^2-1)dx=x³-x+c

F(x)=x³-x+c подставим в это уравнение координаты точки М и найдем с

1³-1+c=-1; c=-1 значение с подставим в формулу F(x)

F(x)=x³-x-1

графиком первообразной является кубическая парабола

при х=0 у=-1

3x²-1=0 ; x²=1/3; x=±1/√3 - экстремумы

при х∈(-∞;-1/√3)∪( 1/√3;+∞) f(x)>0; F(x) возрастает

при х∈(-1/√3; 1/√3) f(x)<0; F(x) убывает

в точке х=-1/√3 максимум

в точке х=1/√3 минимум

Answer 2

Для нахождения первообразной функции f(x) = 3x^2 - 1 воспользуемся правилами интегрирования.

Интегрируя каждый член функции по отдельности, получим:

∫(3x^2 - 1) dx = ∫3x^2 dx - ∫1 dx

Используя формулу для интегрирования степенной функции, получим:

= x^3 - x + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь найдем значение постоянной C, используя условие, что график функции проходит через точку M(1, -1). Подставим значения x и y в уравнение функции:

-1 = (1)^3 - 1 + C

-1 = 1 - 1 + C

-1 = C

Таким образом, первообразная функции f(x) = 3x^2 - 1, проходящая через точку M(1, -1), будет:

F(x) = x^3 - x - 1.

Теперь построим график функции f(x) = 3x^2 - 1 и найденной первообразной F(x) = x^3 - x - 1.

График функции f(x) = 3x^2 - 1 будет параболой с вершиной в точке (0, -1) и направленной вверх.

График первообразной F(x) = x^3 - x - 1 будет кубической параболой, проходящей через точку M(1, -1).

Оба графика можно построить на одном графическом рисунке, чтобы наглядно сравнить их.