Question

Вычислить производную функции y(x), используя определение y′(x0)=lim_{x \to \x_x0} \frac{y(x)-y(x0)}{x-x0} y=sin\sqrt{2x-1}

Answer 1

$\displaystyle \sf \lim_{зx \to 0} \dfrac{y(x_0+зx)-y(x_0)}{зx}=\lim_{зx \to 0}\dfrac{\sin\sqrt{2x_0+2зx-1}-\sin\sqrt{2x_0-1}}{зx}=\\ \\ \\ =\lim_{зx \to 0}\dfrac{2\sin\frac{\sqrt{2x_0+2зx-1}-\sqrt{2x_0-1}}{2}\cdot \cos\frac{\sqrt{2x_0+2зx-1}+\sqrt{2x_0-1}}{2}}{зx}=\\ \\ \\ =\lim_{зx \to 0}\dfrac{\sqrt{2x_0+2зx-1}-\sqrt{2x_0-1}}{2зx}\cdot 2\cos\sqrt{2x_0-1}=\\ \\ \\ =\lim_{зx \to 0}\dfrac{2зx}{зx(\sqrt{2x_0+2зx-1}+\sqrt{2x_0-1})}\cdot \cos\sqrt{2x_0-1}=\\ \\ \\ =\dfrac{2}{2\sqrt{2x_0-1}}\cdot \cos\sqrt{2x_0-1}=\cos\sqrt{2x_0-1}\cdot\frac{1}{\sqrt{2x_0-1}}$

Полагая $\sf x_0=x$ получим нужное.

Answer 2

Для вычисления производной функции y(x) с использованием определения, необходимо найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Данная функция y(x) = sin(√(2x-1)), и мы хотим вычислить производную y'(x).

Шаг 1: Найдем y(x0)

Для начала, найдем значение функции y(x0) при заданном x0. В данном случае, x0 является фиксированным значением, а не приращением аргумента. Заменим x на x0 в функции y(x) и вычислим значение:

y(x0) = sin(√(2x0-1))

Шаг 2: Найдем приращение функции и приращение аргумента

Теперь, найдем приращение функции y(x) и приращение аргумента (x-x0). Приращение функции можно найти как разность между y(x) и y(x0), а приращение аргумента будет равно (x-x0):

Δy = y(x) - y(x0) = sin(√(2x-1)) - sin(√(2x0-1))

Δx = x - x0

Шаг 3: Вычислим предел

Теперь, мы можем вычислить производную y'(x0) по определению, подставив приращение функции и приращение аргумента в определение производной:

y'(x0) = lim(Δx->0) [Δy / Δx]

y'(x0) = lim(Δx->0) [(sin(√(2x-1)) - sin(√(2x0-1))) / (x - x0)]

Шаг 4: Вычислим предел

Для вычисления предела, можно воспользоваться тем, что sin(√(2x-1)) и sin(√(2x0-1)) непрерывны на интервале, в котором определена функция y(x). Также, можно воспользоваться формулой линейной аппроксимации sin(x) = x при малых значениях x.

y'(x0) = lim(Δx->0) [(sin(√(2x-1)) - sin(√(2x0-1))) / (x - x0)]

По формуле линейной аппроксимации sin(x) = x:

y'(x0) = lim(Δx->0) [(√(2x-1) - √(2x0-1)) / (x - x0)]

Шаг 5: Упрощение выражения

Далее, мы можем упростить выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение (√(2x-1) + √(2x0-1)):

y'(x0) = lim(Δx->0) [(√(2x-1) - √(2x0-1)) / (x - x0)] * ((√(2x-1) + √(2x0-1)) / (√(2x-1) + √(2x0-1)))

y'(x0) = lim(Δx->0) [(2x-1) - (2x0-1)] / [(x - x0)(√(2x-1) + √(2x0-1))]

y'(x0) = lim(Δx->0) [2(x - x0)] / [(x - x0)(√(2x-1) + √(2x0-1))]

Шаг 6: Сокращение выражения

Теперь, мы можем сократить (x - x0) в числителе и знаменателе:

y'(x0) = lim(Δx->0) [2] / (√(2x-1) + √(2x0-1))

Шаг 7: Подстановка значения x0

Наконец, подставим значение x0 в полученное выражение:

y'(x0) = 2 / (√(2x-1) + √(2x0-1))

Таким образом, производная функции y(x) по определению равна 2 / (√(2x-1) + √(2x0-1)).