Question

Относительно прямоугольной системы координат даны вершины треугольника: А (–6; –3), В (–4; +3), С (+9;+2). На внутренней биссектрисе угла А найти такую точку М, чтобы четырехугольник АВМС оказался трапецией. Графически проиллюстрировать решение на координатной плоскости. Значениями xmin , xmax , ymin , ymax обоснованно задаться самостоятельно.

Answer 1

Итак, мы имеем вектор a{3;-2} и вектор b{1;-2}.
Умножение вектора на число: p*a=(pXa;pYa;), где p - любое число.
В нашем случае имеем: вектор 5а{15;-10} и вектор 9b{9;-18}.
Разность векторов : a-b=(Xa-Xb;Ya-Yb).
В нашем случае имеем: вектор c=5а-9b={15-9;-10-(-18)}={6;8}.
Итак, мы имеем вектор с{6;8}.
Модуль или длина вектора: |c|=√(Xc²+Yc²) или |с|=√(36+64)=10.
Координаты вектора ab равны разности соответствующих координат точек его конца и начала ab{x2-x1;y2-y1).
В нашем случае координаты вектора с известны: Xc=6 и Yc=8. Известны и координаты его конца: Xm=3 и Ym=2.Пусть точка N - начало вектора с. Зная, что Xc=Xm-Xn и Yc=Ym-Yn, находим координаты начала вектора с (точки N). Эти координаты будут: Xn=Xm-Xc или Xn=3-6=-3 и Yn=Ym-Yc или Yn=2-8=-6.
Остается только на координатной плоскости отметить две точки: N(-3;-6) и M(3;2).
Соединив эти две точки, получим искомый вектор С.

Answer 2

Давай разберемся с этой задачей.

У нас есть треугольник ABC с вершинами A(-6, -3), B(-4, 3) и C(9, 2) в прямоугольной системе координат.

Чтобы найти точку M на внутренней биссектрисе угла A так, чтобы четырехугольник ABMC был трапецией, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем уравнения прямых AB и AC. 2. Найдем координаты точки M, которая будет пересечением внутренней биссектрисы угла A и отрезка BC. 3. Проверим, будет ли четырехугольник ABMC трапецией.

Сначала найдем уравнения прямых AB и AC:

Уравнение прямой через две точки (x1, y1) и (x2, y2) можно найти с помощью формулы: \[y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1).\]

Уравнение прямой AB: \[y - (-3) = \frac{3 - (-3)}{-4 - (-6)} \cdot (x - (-6)).\] \[y + 3 = \frac{6}{2} \cdot (x + 6).\] \[y + 3 = 3(x + 6).\] \[y = 3x + 15.\]

Уравнение прямой AC: \[y - (-3) = \frac{2 - (-3)}{9 - (-6)} \cdot (x - (-6)).\] \[y + 3 = \frac{5}{15} \cdot (x + 6).\] \[y + 3 = \frac{1}{3} \cdot (x + 6).\] \[y = \frac{1}{3}x + 1.\]

Теперь найдем точку пересечения внутренней биссектрисы угла A и отрезка BC. Внутренняя биссектриса угла A делит отрезок BC в отношении сторон AB и AC.

Найдем координаты точки M: \[M(x, y).\] \[x = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{-4 + 9}{2} = \frac{5}{2} = 2.5.\] \[y = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{3 + 2}{2} = \frac{5}{2} = 2.5.\]

Теперь проверим, образует ли четырехугольник ABMC трапецию. Трапеция имеет хотя бы одну пару параллельных сторон.

Посмотрим на уравнения прямых AB и MC:

Уравнение прямой MC: \[y - 2.5 = \frac{-3 - 2.5}{-6 - 2.5} \cdot (x - 2.5).\] \[y - 2.5 = \frac{-5.5}{-8.5} \cdot (x - 2.5).\] \[y - 2.5 = \frac{11}{17} \cdot (x - 2.5).\]

Уравнение прямой AB: \[y = 3x + 15.\]

Обрати внимание на наклон этих прямых. Если их наклоны равны, то они параллельны. Если они не параллельны, нужно изменить координаты точки M.