Question

В треугольнике ABC через середины M и N сторон AB и BC соответственно проведена прямая. биссектрисs углов CAM и NMA пересекаются в точке F. найдите AM если AF=15 Fm=8

Answer 1

ΔABC:  AM=MB;  BN=NC  ⇒  MN - средняя линия треугольника  ⇒  MN║AC.

∠CAM + ∠NMA = 180°   как внутренние односторонние углы при MN║AC и секущей AM.

AF - биссектриса  угла ∠CAM  ⇒  ∠MAF = ∠CAF = ∠CAM : 2

MF - биссектриса  угла ∠NMA  ⇒  ∠AMF = ∠NMF = ∠NMA : 2

∠MAF + ∠AMF = ∠CAM:2 + ∠NMA:2 = (∠CAM+∠NMA) :2 = 180°:2=90°

ΔAFM :  ∠MAF + ∠AMF = 90°   ⇒   ∠AFM = 90° - треугольник прямоугольный.

Теорема Пифагора :

AM² = AF² + FM² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289 = 17²

AM = 17