Question

При каких значениях a число корней уравнения llx^2-2xl-7l=a в четыре раза больше a

Answer 1

1) Пусть x^2 - 2x >= 0, то есть x <= 0 U x >= 2
|x^2 - 2x - 7| = a
|x^2 - 2x - 7| >= 0. Если a < 0, то решений нет.
Если а = 0: x^2 - 2x - 7 = 0
D = 2^2 + 4*7 = 32 = (4√2)^2
x1 = (2 - 4√2)/2 = 1 - 2√2 < 0 - подходит
x2 = (2 + 4√2)/2 = 1 + 2√2 > 2 - подходит
Это уравнение имеет 2 корня, это НЕ в 4 раза больше 0.
а = 0 - не подходит.
Если a > 0, то
а) x^2 - 2x - 7 = a
x^2 - 2x - 7 - a = 0
D = 2^2 + 4(7 + a) = 32 + 4a = 4(8 + a)
x1 = (2 - 2√(8+a))/2 = 1 - √(8+a)
x2 = (2 + 2√(8+a))/2 = 1 + √(8+a)
2 корня.
б) x^2 - 2x - 7 = -a
x^2 - 2x - 7 + a = 0
D = 2^2 + 4(7 - a) = 32 - 4a = 4(8 - a)
x1 = (2 - 2√(8-a))/2 = 1 - √(8-a)
x2 = (2 + 2√(8-a))/2 = 1 + √(8-a)
2 корня.
Всего 4 корня при a > 0. Значит, при а = 1
корней будет в 4 раза больше, чем а.

2) Пусть x^2 - 2x < 0, то есть 0 < x < 2
|-x^2 + 2x - 7| = a
|-x^2 + 2x - 7| >= 0. Если a < 0, то решений нет.
Если а = 0: -x^2 + 2x - 7 = 0
x^2 - 2x + 7 = 0 - решений нет.
Если a > 0, то
а) -x^2 + 2x - 7 = a 
-x^2 + 2x - 7 - a = 0
x^2 - 2x + 7 + a = 0
D = 2^2 - 4(7 + a) = 4 - 28 - 4a < 0 при любом a > 0
Решений нет.

б)  -x^2 + 2x - 7 = -a 
-x^2 + 2x - 7 + a = 0
x^2 - 2x + 7 - a = 0
D = 2^2 - 4(7-a) = 4 - 28 + 4a = 4(a-6) >= 0 при a >= 6
x1 = (2 - 2√(a-6))/2 = 1 - √(a-6)
x2 = (2 + 2√(a-6))/2 = 1 + √(a-6) 
При 6 < a < 7 будет 0 < x1, x2 < 2
2 корня, но это НЕ в 4 раза больше а
Ответ: а = 1