Question

1.Решить систему методами Крамера и последовательных исключений Даны координаты вершин пирамиды A A A A 2. Средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра A1 A2 2) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 3) уравнение плоскости A1 A2 A3 4) уравнение перпендикуляра, опущенного из вершиныA4 на грань A1 A2 A3 5) площадь грани A1 A2 A3 6) объем пирамиды. 3. Уравнения сторон 4. Тип кривой

Answer 1

2) Даны координаты вершин пирамиды
A1(3;4;5), A2(4;7;2), A3(6;1;0), A4(5;1;3).
1) длина ребра A1 A2.
L = √(4-3)²+(7-4)²+(2-5)²) = √(1+9+9) = √19 ≈ 4.358899.

2) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4

Найдем векторы по координатам точек:

А1А2=AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {4 - 3; 7 - 4; 2 - 5} = {1; 3; -3}
А1А4=AД = {Дx - Ax; Дy - Ay; Дz - Az} = {5 - 3; 1 - 4; 3 - 5} = {2; -3; -2}.

Угол между ребрами ищется как угол между соответствующими векторами - с использованием скалярного произведения.

Скалярное произведение векторов a*b = a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z.
Обозначим вектор А1А2 за а, вектор А1А4 за в.
ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 1*2+3*(-3)+(-3)*(-2) = 2-9+6 = -1.
Модули векторов равны:
Вектор А1А2 = √(1²+3²+(-3)²) = √(1+9+9) = √19.
Вектор А1А4 = √(2²+(-3)²+(-2)²) = √(4+9+4) = √17.
$cos \alpha = \frac{ab}{ \sqrt{a} * \sqrt{b} }$
$cos \alpha = \frac{-1}{ \sqrt{19} * \sqrt{17} } =$ -0,05564.
 Cк а*в = -1, модуль а* b = 17.9722, cos (a_b) = -0.05564 

Угол А1А2_А1А4 равен: 1.626467 радиан или 93,18967°.

3) уравнение плоскости A1 A2 A3.

Уравнение плоскости:
A · x + B · y + C · z + D = 0 .
Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему:
A · x1 + B · y1 + C · z1 + D = 0 ,
A · x2 + B · y2 + C · z2 + D = 0 ,
A · x3 + B · y3 + C · z3 + D = 0 .

Здесь  x1, y1, z1 координаты точки А1,
           x2, y2, z2 координаты точки А2 ,

           x3,y3,z3 координаты точки А3.

Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом:
A · (3) + B · (4) + C · (5) + D = 0 ,
A · (4) + B · (7) + C · (2) + D = 0 ,
A · (6) + B · (1) + C · (0) + D = 0 .
Решение довольно громоздкое, в результате получим уравнение плоскости: - 6 x - y - 3 z + 37 = 0 .

Этот же результат можно получить координатным методом.

Уравнение плоскостей граней:
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0. Результат:  -24 x - 4 y - 12 z + 148 = 0.
 После сокращения на -4 получим уравнение плоскости А1 А2 А3:
6 x + 4y + 2z - 37 = 0.

4) уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины A4
    на грань A1 A2 A3.
   Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор, равный нормальному вектору плоскости, то есть (A;B;C)
Точка А4(5;1;3), А = 6, В = 4, С = 2.
Получаем $\frac{x-5}{6}= \frac{y-1}{1}= \frac{x-3}{3}.$

5) Объём пирамиды.
Для нахождения объема пирамиды надо найти объем параллелепипеда, построенного на гранях АВ, АС и АD и поделить его на 6
Объем этого параллелепипеда равен модулю векторного произведения векторов AB, AC и AD
А1А2=AB = {1; 3; -3},
А1А3=АC = {3, -3, -5},
А1А4=AД = {2; -3; -2}.
(AB{x1, y1, z1} ; AC(x2, y2, z2} ; AD{x3, y3, z3})= x3*a1+y3*a2+z3*a3.
a1, a2, a3 вычисляются по формулам:
a1=y1*z2-y2*z1; a2=x1*z2-x2*z1; a3=x1*y2-y1*x2; 
Получаем: [AB ; AC]={-24, -4, -12}.
Векторное произведение равно:
2*(-24)+(-3)*(-4)+(-2)*(-12) =|-48+12+24| = 12.
Объём пирамиды равен V = 12/6 = 2.

Проверку можно произвести геометрическим способом:
V = (1/3)So*H = (1/3)*13,5647*0,442326 = 2.
Здесь Н =  12 / 27,12932 = 0,442326.