Question

Четырехугольник MNKL(NK=KL) можно вписать в окружность. О – точка пересечения диагоналей МК и NL. Площади треугольников MNO и NOK равны 8 и 2 соответственно. Найдите ON , если MN=√80 .

Answer 1

Так как NK=NL, то NKL - равнобедренный треугольник, откуда углы KNL и NLK равны. Углы NMK и NLK равны (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). Значит углы NMK и KNO равны.
Треугольники NKO и MKN подобны (так как равны углы NMK и KNO, угол NKM - общий. Коэффициент подобия - квадратный корень отношения площадей.
$S_{NKO}:S_{NMK}=S_{NKO}:(S_{NKO}+S_{MNO})=2:(2+8)=2:10\\ k = \sqrt{1\over5}$
Из подобия NKO и MKN:
${NO\over MN}=k\\NO=\sqrt{80}\sqrt{1\over5}=4$

Ответ: NO = 4

Answer 2

Давайте рассмотрим данную геометрическую ситуацию более подробно.

Пусть \( O \) - центр окружности, вписанной в четырехугольник \( MNKL \).

Так как \( NK = KL \), то угол \( MKN \) равен углу \( NKL \). Также угол \( MON \) - это половина суммы углов \( MKN \) и \( NKL \) (так как \( O \) - центр окружности, вписанной в четырехугольник).

Теперь обратим внимание на площади треугольников \( MNO \) и \( NOK \). Мы знаем, что площадь треугольника равна \( \frac{1}{2} \times ab \times \sin(C) \), где \( a \) и \( b \) - длины сторон, \( C \) - угол между этими сторонами.

Таким образом, для треугольника \( MNO \) мы имеем:

\[ S_{MNO} = \frac{1}{2} \times MN \times NO \times \sin(\angle MON) \]

А для треугольника \( NOK \):

\[ S_{NOK} = \frac{1}{2} \times NO \times NK \times \sin(\angle NOK) \]

Мы знаем, что \( NK = KL \), поэтому \( NK = KL = \frac{1}{2}MN \). Также из условия \( S_{MNO} = 8 \) и \( S_{NOK} = 2 \) мы можем написать:

\[ \frac{1}{2} \times MN \times NO \times \sin(\angle MON) = 8 \]

\[ \frac{1}{2} \times NO \times \frac{1}{2}MN \times \sin(\angle NOK) = 2 \]

Теперь подставим \( MN = \sqrt{80} \) и решим систему уравнений.

\[ \frac{1}{2} \times \sqrt{80} \times NO \times \sin(\angle MON) = 8 \]

\[ \frac{1}{2} \times NO \times \frac{1}{2} \times \sqrt{80} \times \sin(\angle NOK) = 2 \]

Мы также знаем, что \( \sin(\angle MON) = \sin(\angle NOK) \) (так как эти углы смежные).

Решив эту систему уравнений, вы найдете \( NO \), что и является ответом на ваш вопрос.