Question

С объяснением! На окружности отмечено 2017 различных точек А1, …, А2017 и проведены все возможные хорды, попарно соединяющие эти точки. Через точку А1 проведена прямая, не проходящая ни через одну из точек А2, … А2017. Найдите наибольшее возможное количество хорд, которые могут иметь хотя бы одну общую точку с этой прямой.

Answer 1

2016 так как одна другая

Answer 2

Пусть наибольшее возможное количество хорд, которые могут иметь хотя бы одну общую точку с прямой, проведенной через точку А1, равно N.

Заметим, что каждая хорда имеет две присоединенные к ней точки. Так как на окружности отмечено 2017 различных точек, то имеется 2017 хорд, а значит имеется 2 × 2017 = 4034 различных точек на хордах (включая точки А1, ... , А2017).

Теперь рассмотрим отличные от А1 точки, через которые проходят эти хорды. Ясно, что каждая точка находится на двух хордах (иначе она не соединяется с А1).

Так как каждая хорда имеет две присоединенные к ней точки, а каждая точка находится на двух хордах, то получаем, что 4034 точек находятся на 2017 / 2 = 1008 хордах.

Заметим также, что эти 1008 хорд не имеют общих точек между собой, так как если хорды имели бы общие точки, то существовала бы точка на окружности, которая находилась бы на трех хордах, что противоречит условию их определения.

Таким образом, наибольшее возможное количество хорд, которые могут иметь хотя бы одну общую точку с прямой, проведенной через точку А1, равно 1008.