Question

Докажите, что:1) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная. 2) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная

Answer 1

1) сумма двух нечётных чисел - чётное число. Следовательно, если разбить все нечётные слагаемые на пары, то сумма каждой пары будет чётной. А сумма чётных чисел есть чётное число.
2) аналогично - разбиваем на пары, но одно нечётное остаётся без пары. Получается чётное плюс нечётное, итог - нечётная сумма.

Answer 2

Давайте докажем оба утверждения математически.

1. Сумма четного числа нечетных слагаемых четная:

Пусть у нас есть четное число \(2n\) (где \(n\) - целое число), и нечетные слагаемые обозначены как \(a_1, a_2, \ldots, a_{2n-1}\). Тогда:

\[2n = a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n-1}\]

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

- \(a_1\) - нечетное число (по определению нечетного числа), - \(a_2\) - нечетное число, - и так далее.

Сложим теперь все слагаемые:

\[a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n-1}\]

Каждое слагаемое в этой сумме нечетное, а сумма нечетных чисел - нечетное число (это можно показать индукцией, но это стандартный результат).

Таким образом, мы получаем:

\[2n = \text{(нечетное число)}\]

Так как левая сторона четная, то и правая сторона должна быть четной.

2. Сумма нечетного числа нечетных слагаемых нечетная:

Пусть у нас есть нечетное число \(2n+1\) (где \(n\) - целое число), и нечетные слагаемые обозначены как \(a_1, a_2, \ldots, a_{2n+1}\). Тогда:

\[2n+1 = a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n+1}\]

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

- \(a_1\) - нечетное число, - \(a_2\) - нечетное число, - и так далее.

Сложим теперь все слагаемые:

\[a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n+1}\]

Каждое слагаемое в этой сумме нечетное, а сумма нечетных чисел - нечетное число.

Таким образом, мы получаем:

\[2n+1 = \text{(нечетное число)}\]

Так как левая сторона нечетная, то и правая сторона должна быть нечетной.

Таким образом, оба утверждения доказаны.