Question

1).В выпуклом четырехугольнике ABCD AC = CD и угол ACD = 2 угла BAC. Докажите, что 2BC >= AD.2).Из квадрата 20x20 вырезали одну угловую клетку. Докажите, что оставшуюся часть нельзя разрезать на прямоугольники 1x7

Answer 1

1)доказать это возможно если начертить рисунок, начерти и сам все поймешь, а вообще щдачка легка

2)площадь оставшейся части получается 399, что не делится на 7 без остатка

Answer 2

1) В выпуклом четырехугольнике ABCD, где AC = CD и угол ACD равен 2 углу BAC, нужно доказать, что 2BC >= AD.

Доказательство:

Для начала, построим вспомогательные отрезки. Проведем отрезок CE, параллельный отрезку AD, так что точка E лежит на продолжении отрезка BC. Также проведем отрезок CF, параллельный отрезку AD, так что точка F лежит на продолжении отрезка CD. Обозначим точку пересечения отрезков CE и BF как точку G.

Так как угол ACD равен 2 углу BAC, то угол ACF также равен углу BAC. Также, угол CAF равен углу CDA, так как это соответствующие углы при параллельных прямых. Таким образом, треугольники ACF и CDA подобны.

Из подобия треугольников ACF и CDA, мы можем записать следующее отношение длин сторон: AC / AD = CF / CD

Так как AC = CD, мы можем заменить их в уравнении: AC / AD = CF / AC

Умножим обе части уравнения на AD: AC^2 = CF * AD

Теперь рассмотрим треугольник BCF. Угол BCF равен углу BAC, так как это вертикальные углы. Также, угол CBF равен углу CDA, так как это соответствующие углы при параллельных прямых. Таким образом, треугольники BCF и CDA подобны.

Из подобия треугольников BCF и CDA, мы можем записать следующее отношение длин сторон: BC / CD = CF / AD

Так как CD = AC, мы можем заменить их в уравнении: BC / AC = CF / AD

Умножим обе части уравнения на 2: 2BC / AC = 2CF / AD

Так как AC^2 = CF * AD (из предыдущего уравнения), мы можем заменить AC^2 на CF * AD: 2BC / AC = 2 * (CF * AD) / AD

Упростим уравнение: 2BC / AC = 2CF

Теперь рассмотрим треугольник BCG. Угол BCG равен углу BAC, так как это вертикальные углы. Также, угол CBG равен углу CDA, так как это соответствующие углы при параллельных прямых. Таким образом, треугольники BCG и CDA подобны.

Из подобия треугольников BCG и CDA, мы можем записать следующее отношение длин сторон: BC / CD = CG / AC

Так как CD = AC, мы можем заменить их в уравнении: BC / AC = CG / AC

Упростим уравнение: BC = CG

Таким образом, мы получили, что 2BC / AC = 2CG / AC = 2CF.

Теперь рассмотрим треугольник ACG. Угол ACG равен углу BAC, так как это вертикальные углы. Также, угол CAG равен углу CDA, так как это соответствующие углы при параллельных прямых. Таким образом, треугольники ACG и CDA подобны.

Из подобия треугольников ACG и CDA, мы можем записать следующее отношение длин сторон: AC / CD = AG / AC

Так как CD = AC, мы можем заменить их в уравнении: AC / AC = AG / AC

Упростим уравнение: 1 = AG / AC

Таким образом, мы получили, что AG = AC.

Теперь мы можем заменить AG на AC в уравнении 2BC / AC = 2CF: 2BC / AC = 2CF = 2AG

Так как AG = AC, мы можем заменить их в уравнении: 2BC = 2AC

Упростим уравнение: BC = AC

Таким образом, мы доказали, что BC = AC.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Угол ACD равен 2 углу BAC, так как это условие задачи. Также, угол CAD равен углу CDA, так как это соответствующие углы при параллельных прямых. Таким образом, треугольники ACD и CAD подобны.

Из подобия треугольников ACD и CAD, мы можем записать следующее отношение длин сторон: AC / AD = CD / AC

Умножим обе части уравнения на AC: AC^2 = CD * AD

Так как AC = CD, мы можем заменить их в уравнении: AC^2 = AC * AD

Упростим уравнение: AC = AD

Таким образом, мы доказали, что AC = AD.

Теперь мы можем заменить AC на AD в уравнении BC = AC: BC = AD

Таким образом, мы доказали, что BC = AD.

Теперь рассмотрим уравнение 2BC >= AD. Подставим BC = AD: 2 * AD >= AD

Упростим уравнение: 2 >= 1

Так как это неравенство верно, мы можем заключить, что 2BC >= AD.

Ответ:

Доказано, что в выпуклом четырехугольнике ABCD, где AC = CD и угол ACD равен 2 углу BAC, выполняется неравенство 2BC >= AD.

2) В задаче с квадратом 20x20, из которого вырезали одну угловую клетку, нужно доказать, что оставшуюся часть нельзя разрезать на прямоугольники 1x7.

Доказательство:

Рассмотрим оставшуюся часть квадрата 20x20 после вырезания угловой клетки. Она имеет форму прямоугольника со сторонами 19 и 20.

Предположим, что мы можем разрезать эту часть на прямоугольники 1x7. Рассмотрим один из таких прямоугольников. Он будет иметь ширину 1 и длину 7.

Так как оставшаяся часть имеет ширину 19, мы можем разместить максимум 19 таких прямоугольников вдоль ширины.

Однако, так как длина прямоугольника 7, мы не сможем разместить целое количество прямоугольников вдоль длины 20. Останется незаполненная область шириной 6.

Таким образом, мы не можем разрезать оставшуюся часть на прямоугольники 1x7, так как они не помещаются равномерно вдоль длины.

Ответ:

Оставшуюся часть квадрата 20