Question

Розвяжіть рівняння (√х-2)^4=|х|-х

Answer 1

ОДЗ

х-2 ≥0  ⇒ х ≥2
выражение под корнем не может быть отрицательным числом

|x|=x    если х≥2

(√х-2)^4=|х|-х
(√(х-2)^4=x-x
√(x-2)^4=0
x-2=0
x=2

Ответ : x=2.

Answer 2

Давайте розв'яжемо рівняння \( (\sqrt{x}-2)^4 = |x| - x \) подробно.

1. Почнемо з виразу \( (\sqrt{x}-2)^4 \). Розкриваємо його за формулою бінома Ньютона (біном Ньютона для четвертого ступеня):

\[ (\sqrt{x}-2)^4 = \binom{4}{0}(\sqrt{x})^4(-2)^0 + \binom{4}{1}(\sqrt{x})^3(-2)^1 + \binom{4}{2}(\sqrt{x})^2(-2)^2 + \binom{4}{3}(\sqrt{x})^1(-2)^3 + \binom{4}{4}(\sqrt{x})^0(-2)^4 \]

Спростимо це вираження:

\[ x^2 - 8x\sqrt{x} + 16x - 16 = |x| - x \]

2. Розглянемо випадок, коли \( x \geq 0 \).

\[ x^2 - 8x\sqrt{x} + 17x - 16 = 0 \]

3. Розглянемо випадок, коли \( x < 0 \).

\[ x^2 + 8x\sqrt{-x} + 17x - 16 = 0 \]

Знайдемо корені цих квадратних рівнянь.

4. Для \( x \geq 0 \):

Замінимо \( \sqrt{x} = t \), тоді \( x = t^2 \).

\[ t^4 - 8t^3 + 17t^2 - 16 = 0 \]

Розв'язуємо це рівняння для t, а потім знаходимо значення x.

5. Для \( x < 0 \):

Замінимо \( \sqrt{-x} = t \), тоді \( x = -t^2 \).

\[ t^4 + 8t^3 + 17t^2 - 16 = 0 \]

Розв'язуємо це рівняння для t, а потім знаходимо значення x.

Отримані корені підставимо назад в початкове рівняння, щоб перевірити їх правильність. Також варто врахувати область допустимості значень x при розв'язанні таких рівнянь.