Question

На диагонали BD ромба АВСD, как на диаметре, построена окружность, которая пересекает продолжение стороны АВ в точке Р. Найдите меньшую диагональ ромба, если АР = 1, ВР = 3. Варианты ответов: А)√3 Б)√2 В)2 Г)√5 Д)3

Answer 1

Дополнительно построим PD, тогда (т.к. вписанный угол DPB опирается на диаметр) DPB = 90 градусов, причём AP = 1, (а т.к. AP = 1, и BP = 3, то AB = BC = CD = AD = 2), AD = 2, тогда PD - катет в треугольнике DPA со сторонами 2 и 1, т.е. PD = √3. BD - гипотенуза в треугольнике PBD, поэтому BD = √(3 + 9)=2√3. Пусть O - точка пересечения диагоналей, тогда AO - катет в треугольнике AOB  со сторонами √3 и 2 (т.к. диагонали в ромбе делятся пополам точкой пересечения). Значит, AO = 1, тогда меньшая диагональ равна 2 AO = 2

Answer 2

Для решения этой задачи давайте обозначим следующие точки:

- \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) - вершины ромба; - \( P \) - точка пересечения диагонали \( BD \) и окружности, построенной на диаметре \( BD \); - \( R \) - точка пересечения окружности с продолжением стороны \( AB \).

Так как диагональ \( BD \) ромба \( ABCD \) является диаметром окружности, то угол \( APB \) прямой (180 градусов).

Также из условия задачи известно, что \( AP = 1 \) и \( BP = 3 \).

Рассмотрим треугольник \( APB \). По теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AP^2 + BP^2 \]

Подставим известные значения:

\[ AB^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \]

Теперь найдем длину стороны \( AB \), которая является меньшей диагональю ромба. Она равна корню из \( 10 \):

\[ AB = \sqrt{10} \]

Сравниваем с вариантами ответов:

А) \( \sqrt{3} \) - не совпадает Б) \( \sqrt{2} \) - не совпадает В) \( 2 \) - не совпадает Г) \( \sqrt{5} \) - не совпадает Д) \( 3 \) - не совпадает

Таким образом, правильный ответ - \(\sqrt{10}\).