Question

Даны фигуры, ограниченные следующими линиями: 3) у=х^(1/2); у=х (1/3). найдите объем тел, полученных вращением этих фигур вокруг оси Ох. Пожалуйста подроообно

Answer 1

Решение во вложении-------------

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо найти объем тел, полученных вращением данных фигур вокруг оси Ох. Для этого мы можем использовать метод цилиндрических оболочек или метод дисков.

Метод цилиндрических оболочек:

1. Найдем точки пересечения данных линий. Для этого приравняем уравнения к друг другу: у = х^(1/2) и у = х + (1/3) Таким образом, получаем уравнение: х^(1/2) = х + (1/3) Возведем обе части уравнения в квадрат: х = (х + (1/3))^2 Раскроем скобки: х = х^2 + (2/3)х + (1/9) Перенесем все члены в одну сторону: х^2 - (1/3)х - (1/9) = 0 Решим полученное квадратное уравнение: Дискриминант D = (1/3)^2 - 4 * 1 * (-1/9) = 1/9 + 4/9 = 5/9 Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня: х1 = (1/3 + √(5/9)) / 2 х2 = (1/3 - √(5/9)) / 2 Подставим значения х1 и х2 в уравнение у = х + (1/3), чтобы найти соответствующие значения у: у1 = х1 + (1/3) у2 = х2 + (1/3)

2. Теперь, чтобы найти объем тела, полученного вращением фигуры ограниченной линиями y = x^(1/2) и y = x + (1/3) вокруг оси Ох, мы будем использовать метод цилиндрических оболочек. Объем цилиндрической оболочки можно вычислить по формуле: V = ∫(2πy * h)dx, где y - высота оболочки, h - шаг по оси x.

3. Разобьем фигуру на маленькие элементы dx и для каждого элемента вычислим соответствующую высоту оболочки y. Для этого возьмем каждый элемент dx и найдем соответствующие значения y1 и y2, используя уравнения y = x^(1/2) и y = x + (1/3). Затем найдем разность между этими значениями, чтобы получить высоту оболочки y = y2 - y1.

4. Теперь, подставим значения y и dx в формулу объема цилиндрической оболочки и проинтегрируем по всей области фигуры, чтобы найти общий объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси Ох: V = ∫(2πy * dx) от x1 до x2, где x1 и x2 - значения, найденные в шаге 1.

Метод дисков:

1. Найдем точки пересечения данных линий, как описано в шаге 1 метода цилиндрических оболочек.

2. Для метода дисков, мы будем использовать формулу объема диска: V = ∫(πy^2)dx, где y - радиус диска.

3. Разобьем фигуру на маленькие элементы dx и для каждого элемента вычислим соответствующий радиус диска y. Для этого возьмем каждый элемент dx и найдем соответствующие значения y1 и y2, используя уравнения y = x^(1/2) и y = x + (1/3). Затем возведем каждое значение y в квадрат, чтобы получить радиус диска.

4. Теперь, подставим значения y^2 и dx в формулу объема диска и проинтегрируем по всей области фигуры, чтобы найти общий объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси Ох: V = ∫(πy^2 * dx) от x1 до x2, где x1 и x2 - значения, найденные в шаге 1.

Оба метода должны дать одинаковый результат. Вы можете выбрать любой из них для решения данной задачи.