Question

Площадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 18 корней из трёх, делённых на 3. Один из ост­рых углов равен 60°. Най­ди­те длину катета, ле­жа­ще­го на­про­тив этого угла.

Answer 1

ΔАСВ  - прямоугольный :  АВ - гипотенуза ;  АС,СВ - катеты 
∠С= 90°
∠В = 60°
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Следовательно: ∠А = 90 - 60  =  30°
Катет лежащий против угла в 30°  равен половине гипотенузы.
СВ = АВ/2 
По теореме Пифагора:
АВ² = АС² + СВ²         ⇒  АВ² = АС² + (АВ/2)²      
АС= √ (АВ²  - (АВ²/4))   ⇒  АС = √ ((4АВ²  - АВ²)/4) = √(3АВ²/4) = (АВ*√3) /2
S =1/2  *  АС * СВ  = 18√3 / 3  
1/2  * ((АВ*√3)/2   *     (АВ/2))  =  18√3 / 3 
1/2  * ( (АВ²*√3) / 4 )   = 18√3 / 3
АВ²√3 / 8  = 18√3 / 3
3 *√3* АВ² = 18√3  *  8
АВ² = 144√3  /  3√3
АВ² = 48
АВ = √48  = √(16*3) = 4√3   - гипотенуза
СВ = 4√3 /2  = 2√3    - один катет
АС =  (4√3  *√ 3)/2   = (4*(√3)²)/2 = 12/2 = 6  - второй катет, который лежит против угла В = 60°.

Ответ: АС = 6.

Answer 2

Площадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 18 корней из трёх, делённых на 3. Обозначим площадь треугольника как S.

S = (18√3) / 3

Также известно, что один из ост­рых углов тре­уголь­ни­ка равен 60°. Обозначим этот угол как α.

Мы можем использовать формулу для площади треугольника:

S = (1/2) * a * b * sin(α),

где a и b - длины катетов треугольника.

Заметим, что sin(60°) = √3 / 2. Подставим известные значения в формулу:

(18√3) / 3 = (1/2) * a * b * (√3 / 2).

Упростим выражение:

(18√3) / 3 = (a * b * √3) / 4.

Теперь избавимся от корня на обеих сторонах уравнения и умножим обе части на 4:

72√3 / 3 = a * b * √3.

Сокращаем √3:

24 = a * b.

Таким образом, длина катета, ле­жа­ще­го на­про­тив острого угла исходного треугольника, равна 24.