Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=(3x+2)(1-x) и y=0

Answer 1

Применены : формулы интегрирования, формула Ньютона-Лейбница

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=(3x+2)(1-x) и линией y=0, нужно сначала найти точки пересечения этих двух графиков.

Для этого приравняем уравнение (3x+2)(1-x) = 0 к нулю и решим его: (3x+2)(1-x) = 0 Раскрываем скобки: (3x+2)(1-x) = 3x+2-3x-2 = -x = 0 Отрицание равно нулю только если само выражение равно нулю, поэтому получаем: -x = 0 x = 0

Таким образом, точкой пересечения является (0,0).

Теперь нам нужно найти интеграл от функции (3x+2)(1-x) на интервале от -∞ до 0 и от 0 до позитивной бесконечности. Этот интеграл даст нам площадь под графиком функции на этих интервалах.

Интеграл от (3x+2)(1-x) на интервале от -∞ до 0: ∫[(3x+2)(1-x)]dx Раскрываем скобки: ∫[3x-3x^2+2-2x]dx Упрощаем: ∫[-3x^2+x+2]dx Интегрируем каждое слагаемое по отдельности: -∫[3x^2]dx + ∫[x]dx + ∫[2]dx = -x^3/3 + x^2/2 + 2x + C1

Теперь найдем интеграл от (3x+2)(1-x) на интервале от 0 до позитивной бесконечности: ∫[(3x+2)(1-x)]dx = ∫[-3x^2+x+2]dx = -x^3/3 + x^2/2 + 2x + C2

Таким образом, площадь фигуры ограниченной графиком функции y=(3x+2)(1-x) и линией y=0 равна разности значений интегралов на указанных интервалах: S = (-x^3/3 + x^2/2 + 2x + C2) - (-x^3/3 + x^2/2 + 2x + C1) S = -x^3/3 + x^2/2 + 2x + C2 + x^3/3 - x^2/2 - 2x - C1 S = (C2 - C1)

Таким образом, для определения площади фигуры требуются значения констант C1 и C2. Без них невозможно точно найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.