Question

8cos^2(x)+14cos(x)-9=0

Answer 1

8cos^2(x)+14cos(x)-9=0
пусть соs(x)=t, то
8t^2+14t-9=0
D=14^2+4*9*8=484=sqr(22)
t1=1/2=0,5
t2=-2,25
cosx=0,5 или соsx=-2,25нет корней т.к. <-1
х=+-п/3+2пk, kпринадлежит N

Answer 2

Чтобы решить уравнение \(8\cos^2(x) + 14\cos(x) - 9 = 0\), давайте представим его в виде квадратного уравнения относительно \(\cos(x)\).

Обозначим \(\cos(x)\) за \(y\). Тогда уравнение примет вид:

\[8y^2 + 14y - 9 = 0\]

Теперь давайте воспользуемся квадратным уравнением и найдем значения \(y\). Формула для решения квадратного уравнения \(ay^2 + by + c = 0\) имеет вид:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае:

\[a = 8, \quad b = 14, \quad c = -9\]

Подставим значения в формулу:

\[y = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4(8)(-9)}}{2(8)}\]

Вычислим подкоренное выражение:

\[y = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 288}}{16}\]

\[y = \frac{-14 \pm \sqrt{484}}{16}\]

\[y = \frac{-14 \pm 22}{16}\]

Таким образом, получаем два возможных значения для \(y\):

\[y_1 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}\]

\[y_2 = \frac{-36}{16} = -\frac{9}{4}\]

Теперь вернемся к исходной переменной \(\cos(x)\):

Для первого случая (\(y_1 = \frac{1}{2}\)):

\[\cos(x) = \frac{1}{2}\]

Это соответствует углу \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\) или \(x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

Для второго случая (\(y_2 = -\frac{9}{4}\)):

Это значение не лежит в диапазоне \([-1, 1]\), поэтому для этого случая нет решений в действительных числах. Уравнение не имеет действительных корней для этого значения.

Таким образом, решение исходного уравнения:

\[x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n\]

где \(n\) - целое число.