Question

ПОМОГИТЕ ОЧЕНЬ СРОЧНО ИСследовать на экстремум y=x^2е^x

Answer 1

Взять производную
y'=2x×e^2+e^x×x^2=e^x(x^2+2x)
e^x(x^2+2x)=0
можно разделить на e^x т.к оно не равняется нулю
x^2+2x=0
x(x+2)=0
-------(+)-------(-2)-----(-)-------(0)-----(+)------
xmax=-2
xmin=0

Answer 2

Для исследования на экстремум функции y = x^2 * e^x, мы должны найти ее производную и найти значения x, где производная равна нулю.

1. Найдем производную функции y. y'(x) = (2x * e^x) + (x^2 * e^x)

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: (2x * e^x) + (x^2 * e^x) = 0 Общий множитель e^x можно разделить, чтобы упростить уравнение: e^x * (2x + x^2) = 0 Так как e^x всегда положительно, получаем: 2x + x^2 = 0

3. Решим полученное квадратное уравнение: x^2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 Найдем корни: x = 0 или x = -2

Таким образом, найдены две точки, где производная функции равна нулю: x = 0 и x = -2.

4. Теперь проанализируем знак производной в окрестности этих точек, чтобы определить, являются ли они точками максимума или минимума. Для этого построим таблицу знаков производной:

| x < -2 | -2 < x < 0 | x > 0 | |-----------------------|-------------------------|-----------------------------| | y'(x) < 0 | y'(x) > 0 | y'(x) > 0 | | Функция возрастает | Функция убывает | Функция возрастает |

Исходя из таблицы, получаем следующую информацию: - В интервале x < -2 функция убывает. - В интервале -2 < x < 0 функция возрастает. - В интервале x > 0 функция также возрастает.

5. Исследуем точки x = 0 и x = -2 на экстремумы. - В точке x = 0 график функции имеет горизонтальный перегиб и меняет свой характер с возрастающего на убывающий. Это указывает на наличие точки минимума. - В точке x = -2 график функции имеет вертикальный перегиб и меняет свой характер с убывающего на возрастающий. Это указывает на наличие точки максимума.

Таким образом, функция y = x^2 * e^x имеет точку минимума в x = 0 и точку максимума в x = -2.