Question

В трехзначном числе зачеркнули первую цифру и получили двузначное. Если на это двузначное число поделить исходное, то частное будет равно 9, а остаток 8. Найдите исходное число. (Приведите все возможные решения.)

Answer 1

13 * 9 + 8 = 113. Исходное число - 113

Answer 2

Пусть трехзначное число имеет вид XYZ, где X, Y и Z - цифры. Зачеркивая первую цифру, получаем двузначное число YZ.

Из условия задачи известно, что при делении YZ на XYZ получаем частное 9 и остаток 8. Мы можем записать это уравнение следующим образом:

\[ XYZ = 9 \cdot YZ + 8 \]

Теперь давайте подставим выражение для YZ:

\[ 100X + 10Y + Z = 9 \cdot (10Y + Z) + 8 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ 100X + 10Y + Z = 90Y + 9Z + 8 \]

Теперь приведем подобные слагаемые:

\[ 100X = 90Y + 9Z + 8 - 10Y - Z \]

\[ 100X = 80Y + 8Z + 8 \]

\[ 25X = 20Y + 2Z + 2 \]

Теперь у нас есть уравнение, и мы можем рассмотреть все возможные значения X, Y и Z в пределах трехзначных чисел.

Поскольку XYZ - трехзначное число, мы знаем, что \(1 \leq X \leq 9\), \(0 \leq Y \leq 9\) и \(0 \leq Z \leq 9\).

Пройдем по всем возможным значениям и найдем те, которые удовлетворяют уравнению \(25X = 20Y + 2Z + 2\) и условиям \(1 \leq X \leq 9\), \(0 \leq Y \leq 9\) и \(0 \leq Z \leq 9\).

Возможные решения:

1. Пусть X = 1. Тогда Y = 4 и Z = 1.

\[ 25 \cdot 1 = 20 \cdot 4 + 2 \cdot 1 + 2 \]

2. Пусть X = 2. Тогда Y = 8 и Z = 3.

\[ 25 \cdot 2 = 20 \cdot 8 + 2 \cdot 3 + 2 \]

3. Пусть X = 3. Тогда Y = 2 и Z = 5.

\[ 25 \cdot 3 = 20 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 2 \]

4. Пусть X = 4. Тогда Y = 6 и Z = 7.

\[ 25 \cdot 4 = 20 \cdot 6 + 2 \cdot 7 + 2 \]

5. Пусть X = 5. Тогда Y = 0 и Z = 9.

\[ 25 \cdot 5 = 20 \cdot 0 + 2 \cdot 9 + 2 \]

Таким образом, все возможные трехзначные числа, удовлетворяющие условиям задачи, это 145, 283, 529, 647 и 509.