Question

Вычислить интеграл ∫ cos(ln x)dx

Answer 1

используя интегрирование частями

$I=\int {cos(ln x)}\, dx= x *cos(ln x) - \int {x}\, d (cos (ln x))= x*cos(ln x)-\int {x(-sin (ln x))*\frac{1}{x}}\, dx= x *cos(ln x)+\int sin (ln x)\, dx= x *cos(ln x)+x*sin(ln x)-\int {x}\, d{sin (ln x)}= x *cos(ln x)+x*sin(ln x)-\int {x *cos (lnx)*\frac {1}{x}}\, d{x}= x *cos(ln x)+x*sin(ln x)-\int {cos (lnx)}\, d{x}+c= x *cos(ln x)+x*sin(ln x)-I+c;$

 

 

$I=\frac {x *cos(ln x)+x*sin(ln x)+c} {2}$

где с є R

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫cos(ln x) dx воспользуемся методом интегрирования по частям.

Пусть u = ln x, тогда du = (1/x)dx и dv = cos(ln x) dx, тогда v = ∫cos(ln x) dx.

Применяя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, получаем:

∫cos(ln x) dx = ln x * ∫cos(ln x) dx - ∫(1/x) * (∫cos(ln x) dx) dx.

Обозначим первый интеграл как I, тогда:

∫cos(ln x) dx - I = ln x * I.

Выразим I:

I = (1 - ln x) * ∫cos(ln x) dx.

Теперь подставим этот результат в исходный выражение:

∫cos(ln x) dx - (1 - ln x) * ∫cos(ln x) dx = ∫cos(ln x) dx * (1 - 1 + ln x) = ∫cos(ln x) dx * ln x.

Таким образом, получаем:

∫cos(ln x) dx = (∫cos(ln x) dx) * ln x.

Теперь можем рассмотреть новый интеграл ∫cos(ln x) dx:

Пусть t = ln x, тогда dt = (1/x)dx и x = e^t.

∫cos(ln x) dx = ∫cos(t) * (e^t) dt.

Решим этот интеграл по методу интегрирования по частям.

Пусть u = cos(t), тогда du = -sin(t) dt и dv = e^t dt, тогда v = e^t.

Применяя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, получаем:

∫cos(t) * (e^t) dt = cos(t) * (e^t) - ∫(-sin(t)) * (e^t) dt.

= cos(t) * (e^t) + ∫sin(t) * (e^t) dt.

Решим последний интеграл аналогично первому:

Пусть z = sin(t), тогда dz = cos(t) dt.

∫sin(t) * (e^t) dt = ∫z * e^t dz.

Аналогично, применяя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, получаем:

∫z * e^t dz = z * e^t - ∫e^t dz.

= z * e^t - e^t.

Заменяя обратно переменные, получаем:

∫sin(t) * (e^t) dt = sin(t) * (e^t) - e^t.

Подставляя получившееся выражение в предыдущий результат:

cos(ln x) * ln x = (∫cos(ln x) dx) * ln x = (sin(t) * (e^t) - e^t) * ln x.

Подставляя обратно t = ln x, получаем:

∫cos(ln x) dx = (e^(ln x) * sin(ln x) - e^(ln x)) * ln x.

Упрощая выражение, получаем:

∫cos(ln x) dx = (x * sin(ln x) - x) * ln x.

Таким образом, окончательный ответ:

∫cos(ln x) dx = (x * sin(ln x) - x) * ln x.