Question

Помогите пожалуйста решить систему уравнений:2 в степени x = siny2 в степени -x = 2siny+1

Answer 1

2^x=sin(y)

2^(-x)=2sin(y)+1

 

Умножим первое уравнение на 2

2*2^x=2sin(y)       (*)

 

От второго уравнения вычтем уравнение (*), получим

2^(-x)-2^x=1

1/2^x-2^x=1

пусть 2^x=z,тогда

(1/z)-2z-1=0

1-2z^2-z=0

2z^2+z-1=0

Решая это уравнение, получим корни

z=-1 и z=1/2

то есть

1)  2^x=-1  -  нет решений 2^x >=0

2) 2^x=1/2  =>2^x =2^(-1)  =>x=-1

 

Подставим значение x в первое уравнение исходной системы

 

2^x=sin(y)  => 2^(-1)=siny  => siny=1/2  =>y=(-1)^n*(pi/6)+pi*n

 

Ответ:

x=-1

y=(-1)^n*(pi/6)+pi*n

Answer 2

Я попробую помочь вам решить систему уравнений. Сначала я перепишу ее в более читаемом виде:

$$ \begin{cases} 2^x = \sin y \\ 2^{-x} = 2 \sin y + 1 \end{cases} $$

Затем я умножу обе части второго уравнения на $2^x$ и получу:

$$ \begin{cases} 2^x = \sin y \\ 1 = 2^{2x} \sin y + 2^x \end{cases} $$

Теперь я подставлю $\sin y$ из первого уравнения во второе и получу:

$$ 2^{2x} \cdot 2^x - 2^x - 1 = 0 $$

Это квадратное уравнение относительно $2^x$, которое можно решить методом дискриминанта:

$$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9 \\ 2^x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} \\ 2^x = \frac{1 \pm 3}{4} \\ 2^x = 1 \text{ или } 2^x = -\frac{1}{2} $$

Первый случай дает $x = 0$, а второй случай не имеет решения, так как $2^x$ не может быть отрицательным. Таким образом, единственное возможное значение $x$ это $0$.

Подставляя $x = 0$ в первое уравнение, получаем:

$$ 2^0 = \sin y \\ 1 = \sin y $$

Это значит, что $y$ равен $\frac{\pi}{2}$ плюс любое целое число, умноженное на $2\pi$. Обозначим это число за $k$ и получим:

$$ y = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$

Итак, решение системы уравнений это:

$$ \begin{cases} x = 0 \\ y = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \end{cases} $$

Надеюсь, это было полезно.Ответь подробно. Помогите пожалуйста решить систему уравнений:2 в степени x = siny2 в степени -x = 2siny + 1