Question

Дана функция f (x)=корень-x^2+6x-5.Найдите:1.область оределения 2.промежутки возрастания и убывания 3.наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [2;5]

Answer 1

1. $- x^{2} +6x-5 \geq 0$
    $1 \leq x \leq 5$
2. $f'(x)= \frac{-2x+6}{2 \sqrt{- x^{2} +6x-5} }$
    Возрастает: $1 \ \textless \ x \ \textless \ 3$
    Убывает: $3\ \textless \ x\ \textless \ 5$
3. $f(2)= \sqrt{3}$
    $f(5)=0$
    $f(3)=2$
    Наибольшее: 2
    Наименьшее: 0

Answer 2

Область определения функции

Для определения области определения функции, нужно найти все значения x, для которых функция f(x) определена. Обратите внимание, что в данном случае функция представлена квадратным корнем, и чтобы корень был определен, аргумент корня должен быть неотрицательным числом или нулем.

Таким образом, чтобы найти область определения функции f(x), мы должны решить следующее неравенство:

x^2 + 6x - 5 ≥ 0

Чтобы решить это неравенство, можно использовать метод интервалов или факторизацию. Давайте воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем корни квадратного уравнения x^2 + 6x - 5 = 0:

Используя формулу дискриминанта D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 6, c = -5, получим:

D = 6^2 - 4(1)(-5) = 36 + 20 = 56

Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два различных корня.

Решим уравнение:

x = (-b ± √D) / 2a

x₁ = (-6 + √56) / 2 = (-6 + 2√14) / 2 = -3 + √14 x₂ = (-6 - √56) / 2 = (-6 - 2√14) / 2 = -3 - √14

2. Построим знаковую линию, разделяя пространство на интервалы в соответствии с найденными корнями:

Интервал 1: (-∞, -3 - √14) Интервал 2: (-3 - √14, -3 + √14) Интервал 3: (-3 + √14, +∞)

3. Теперь выберем значения x внутри каждого интервала и определим знак выражения x^2 + 6x - 5 в этом интервале.

- Для интервала 1 (-∞, -3 - √14): возьмем x = -4. Подставим x в выражение: (-4)^2 + 6(-4) - 5 = 16 - 24 - 5 = -13. Знак выражения отрицательный. - Для интервала 2 (-3 - √14, -3 + √14): возьмем x = 0. Подставим x в выражение: 0^2 + 6(0) - 5 = -5. Знак выражения отрицательный. - Для интервала 3 (-3 + √14, +∞): возьмем x = 4. Подставим x в выражение: 4^2 + 6(4) - 5 = 16 + 24 - 5