Question

Решите неравенство: log в степени 2 0,5x-log0,5x-2=0

Answer 1

Log²₀,₅x - log₀,₅x - 2 = 0
ОДЗ: х>0
Введём новую переменную:  log₀,₅x = t, получим
t² - t - 2 =0
Корни уравнения: t= -1  или t= 2
Вернёмся к исходной переменной:
1) log₀,₅x = -1                     2) log₀,₅x = 2
     х= 2                                                 x= 0,25

Answer 2

Давайте решим данное логарифмическое неравенство шаг за шагом.

Исходное неравенство: \[ \log_2(0.5x) - \log_{0.5}(x-2) = 0 \]

Для упрощения неравенства, воспользуемся свойствами логарифмов:

1. Применим правило \( \log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) \): \[ \log_2\left(\frac{0.5x}{x-2}\right) = 0 \]

2. Воспользуемся определением логарифма: если \( \log_a(y) = 0 \), то \( a^0 = y \), что означает, что \( y = 1 \). \[ \frac{0.5x}{x-2} = 1 \]

Теперь решим уравнение:

Умножим обе стороны на \(x-2\): \[ 0.5x = x-2 \]

Раскроем скобки: \[ 0.5x = x - 2 \]

Выразим \(x\): \[ 0.5x - x = -2 \] \[ -0.5x = -2 \]

Разделим обе стороны на -0.5: \[ x = \frac{-2}{-0.5} \]

Упростим: \[ x = 4 \]

Теперь проверим подставив \(x = 4\) обратно в исходное уравнение:

\[ \log_2(0.5 \times 4) - \log_{0.5}(4-2) = \log_2(2) - \log_{0.5}(2) \]

Используем тот факт, что \( \log_a(a) = 1 \): \[ 1 - \frac{1}{\log_{2}(2)} = 1 - 1 = 0 \]

Таким образом, \(x = 4\) является решением исходного логарифмического неравенства.