Question

Помогите пожалуйста желательно с подробным объяснением.Найдите количество корней уравнения sinx+cosx=1 на отрезке (-2п;4п) .

Answer 1

K=0 ---> x=0
k=1 ---> x=π/2
k=2 ---> x=2π
k=3 ---> x=(5π)/2
k=-1 ---> x=-(3π)/2

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение \( \sin(x) \cos(x) = 1 \) на отрезке \((-2\pi, 4\pi)\).

Сначала приведем его к более удобному виду. Имеем уравнение:

\[ \sin(x) \cos(x) = 1 \]

Рассмотрим три случая:

1. Если \(\sin(x) = 1\), то \(\cos(x) = \frac{1}{\sin(x)} = 1\), что верно только при \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число.

2. Если \(\cos(x) = 1\), то \(\sin(x) = \frac{1}{\cos(x)} = 1\), что верно только при \(x = 0 + k\pi\), где \(k\) - целое число.

3. Если \(\sin(x) = -1\), то \(\cos(x) = \frac{1}{\sin(x)} = -1\), что верно только при \(x = \frac{3\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число.

Теперь посмотрим, в каких точках на отрезке \((-2\pi, 4\pi)\) выполняются эти условия.

Для первого случая (\(\sin(x) = 1\)) у нас есть точки \(x_k = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) для всех целых \(k\). Подставим значения \(k = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\) и посмотрим, входят ли они в отрезок \((-2\pi, 4\pi)\):

\[ x_{-3} = \frac{\pi}{2} - 6\pi = -\frac{11\pi}{2} \] \[ x_{-2} = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2} \] \[ x_{-1} = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \] \[ x_0 = \frac{\pi}{2} \] \[ x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \] \[ x_2 = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} \] \[ x_3 = \frac{\pi}{2} + 6\pi = \frac{13\pi}{2} \]

Из этих значений только \(x_0 = \frac{\pi}{2}\) входит в отрезок \((-2\pi, 4\pi)\). Это означает, что уравнение имеет корень в этой точке.

Для второго случая (\(\cos(x) = 1\)) у нас есть точки \(x_k = 2k\pi\) для всех целых \(k\). Подставим значения \(k = -2, -1, 0, 1, 2, 3\) и посмотрим, входят ли они в отрезок \((-2\pi, 4\pi)\):

\[ x_{-2} = -4\pi \] \[ x_{-1} = -2\pi \] \[ x_0 = 0 \] \[ x_1 = 2\pi \] \[ x_2 = 4\pi \] \[ x_3 = 6\pi \]

Из этих значений только \(x_0 = 0\) входит в отрезок \((-2\pi, 4\pi)\). Это означает, что уравнение имеет корень в этой точке.

Для третьего случая (\(\sin(x) = -1\)) у нас есть точки \(x_k = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\) для всех целых \(k\). Подставим значения \(k = -2, -1, 0, 1, 2, 3\) и посмотрим, входят ли они в отрезок \((-2\pi, 4\pi)\):

\[ x_{-2} = \frac{3\pi}{2} - 4\pi = -\frac{5\pi}{2} \] \[ x_{-1} = \frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2} \] \[ x_0 = \frac{3\pi}{2} \] \[ x_1 = \frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{7\pi}{2} \] \[ x_2 = \frac{3\pi}{2} + 4\pi = \frac{11\pi}{2} \] \[ x_3 = \frac{3\pi}{2} + 6\pi = \frac{15\pi}{2} \]

Из этих значений ни одно не входит в отрезок \((-2\pi, 4\pi)\).

Таким образом, уравнение \(\sin(x) \cos(x) = 1\) имеет корни только в точке \(x = \frac{\pi}{2}\) на отрезке \((-2\pi, 4\pi)\).