Question

Провести полное исследование функции и построить ее график : y=2/(x^2+2x) 1)область определения 2)честность, нечетность 3)промежутки монотонности 4)точки пересечения с осями 5)асимптоты 6)интервалы впуклости и выпуклости

Answer 1

ДАНО
Y = 2/(x² + 2x)
ИССЛЕДОВАНИЕ
1. Область определения.
Х∈(-∞;-2)∪(-2;0)∪(0;+∞)
Разрывы в двух точках.
2. Проверка на четность
Y(-x) = 2/(x² - 2x) ≠ Y(x) - ни чётная ни нечетная.
3. Первая производная.
Y'(x) = -2/[x²*(x+2)] - 2/[x*(x+2)]
4/ Корень производной -  точка экстремума - Х= -1.
Экстремум - максимум -  Y(-1) = -2
5. Возрастает -  Х∈(-∞;-2)∪(-2;-1]
Убывает - X∈[-1,0)∪(0,+∞)
6. Пересечений с осями Х и У - нет.   Х∈∅.
7. Наклонная асимптота - Y = 0.
8. Выпуклая - Х∈(-2;0)
Вогнутая - Х∈(-∞,-2)∪(0,+∞)

Answer 2

Давайте поочередно рассмотрим каждый аспект функции \( y = \frac{2}{x^2 + 2x} + 1 \):

1. Область определения:

Область определения функции определяется значениями переменной \( x \), при которых функция имеет смысл. В данном случае знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как деление на ноль неопределено. Решим уравнение в знаменателе:

\[ x^2 + 2x = 0 \]

\[ x(x + 2) = 0 \]

Отсюда получаем, что \( x = 0 \) и \( x = -2 \). Таким образом, область определения функции - это множество всех реальных чисел, кроме 0 и -2.

2. Четность и нечетность:

Функция является нечетной, если для любого \( x \) из ее области определения выполняется условие \( f(-x) = -f(x) \). В данном случае подставим \(-x\) в функцию:

\[ f(-x) = \frac{2}{(-x)^2 + 2(-x)} + 1 = \frac{2}{x^2 - 2x} + 1 \]

Так как \( f(-x) \neq -f(x) \), функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Промежутки монотонности:

Для нахождения промежутков монотонности вычислим производную функции:

\[ f'(x) = -\frac{2(x+1)}{(x+2)^2} \]

Производная равна нулю при \( x = -1 \). Таким образом, функция убывает на интервалах \((- \infty, -2)\) и \((-2, -1)\), и возрастает на интервалах \((-1, \infty)\).

4. Точки пересечения с осями:

Чтобы найти точки пересечения с осями, подставим \( x = 0 \) для оси \( y \) и решим уравнение:

\[ y = \frac{2}{0^2 + 2 \cdot 0} + 1 = 1 \]

Таким образом, у функции есть точка пересечения с осью \( y \) в точке (0, 1). Чтобы найти точку пересечения с осью \( x \), решим уравнение \( \frac{2}{x^2 + 2x} + 1 = 0 \). Это уравнение не имеет решений в области определения функции.

5. Асимптоты:

Функция имеет вертикальную асимптоту в точке, где знаменатель равен нулю, т.е. при \( x = -2 \). Также, поскольку степень числителя и знаменателя одинакова (2), функция имеет горизонтальную асимптоту при \( y = 0 \).

6. Интервалы впуклости и выпуклости:

Чтобы определить интервалы впуклости и выпуклости, найдем вторую производную функции:

\[ f''(x) = \frac{2(x^2+4x+2)}{(x+2)^3} \]

Вторая производная положительна при \( x < -4 \) и \( x > -2 \), что означает, что функция выпукла на этих интервалах. В остальных интервалах функция вогнута.

Таким образом, проведено полное исследование функции \( y = \frac{2}{x^2 + 2x} + 1 \), включая область определения, четность и нечетность, промежутки монотонности, точки пересечения с осями, асимптоты и интервалы впуклости и выпуклости.