Question

Вычислите производную функции f(x)=tg(pi/4-x) и найдите ее значение при x=-3/4 pi

Answer 1

$f(x)=tg(\frac{\pi}{4}-x)$
$f'(x)= -\frac{1}{cos^2(\frac{\pi}{4}-x)}$
$f'(- \frac{3 \pi }{4} )= -\frac{1}{cos^2(\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi }{4} )} = \frac{1}{cos^2( \pi )} =1$

Answer 2

Для того чтобы вычислить производную функции f(x) = tg(pi/4 - x) и найти ее значение при x = -3/4 pi, мы воспользуемся правилом дифференцирования для тригонометрических функций.

Вычисление производной функции

Для начала, давайте запишем функцию f(x) в более удобной форме, используя тригонометрические тождества:

f(x) = tg(pi/4 - x) = sin(pi/4 - x) / cos(pi/4 - x)

Теперь мы можем применить правило дифференцирования для функции f(x):

f'(x) = (cos(pi/4 - x) * (0 - 1) - sin(pi/4 - x) * (-1)) / cos^2(pi/4 - x)

Упростим это выражение:

f'(x) = (-cos(pi/4 - x) + sin(pi/4 - x)) / cos^2(pi/4 - x)

Нахождение значения производной при x = -3/4 pi

Теперь, чтобы найти значение производной при x = -3/4 pi, мы подставим этот x в выражение для f'(x):

f'(-3/4 pi) = (-cos(pi/4 - (-3/4 pi)) + sin(pi/4 - (-3/4 pi))) / cos^2(pi/4 - (-3/4 pi))

Упростим это выражение:

f'(-3/4 pi) = (-cos(pi/4 + 3/4 pi) + sin(pi/4 + 3/4 pi)) / cos^2(pi/4 + 3/4 pi)

Теперь, используя тригонометрические тождества, получим:

f'(-3/4 pi) = (-cos(7/4 pi) + sin(7/4 pi)) / cos^2(7/4 pi)

Так как cos(7/4 pi) = 0 и sin(7/4 pi) = -1, мы можем упростить выражение:

f'(-3/4 pi) = (-0 + (-1)) / cos^2(7/4 pi)

f'(-3/4 pi) = -1 / cos^2(7/4 pi)

Таким образом, значение производной функции f(x) при x = -3/4 pi равно -1 / cos^2(7/4 pi).