Question

Найти экстремумы:y=2x^4-2x^2

Answer 1

Краткий ответ:
$y=2x^4-2x^2$
$y'=(2x^4-2x^2)'=8x^3-4x$
$8x^3-4x=0 \\ x(8x^2-4)=0 \\ x_{1}=0; \\ 8x^2-4=0 \\ 8x^2=4 \\ x^2=1/2 \\ x_{2}=1/ \sqrt{2} \\ x_{3}=-1/ \sqr<strong></strong>t{2}$
$1) y(0)=2* 0^{4} -2*0^{2}=0 \\ 2) y( \frac{1}{ \sqrt{2} } )=2* \frac{1}{4} -2* \frac{1}{2} =- \frac{1}{2} \\ 3) y( -\frac{1}{ \sqrt{2} } )=2* \frac{1}{4} -2* \frac{1}{2} =- \frac{1}{2}$
Ответ: $0; - \frac{1}{2}$.
Развернутый ответ:
$y=2x^4-2x^2$
Экстремумы функции - значение функции в точках экстремума (в точках минимума и максимума).
Найдем производную данной функции:
$y'=(2x^4-2x^2)'=8x^3-4x$
Найдем критические точки (критические точки - точки, в которых производна функции равна нулю или не существует). Для этого приравняем значение производной к 0:
$8x^3-4x=0 \\ x(8x^2-4)=0 \\ x_{1}=0; \\ 8x^2-4=0 \\ 8x^2=4 \\ x^2=1/2 \\ x_{2}=1/ \sqrt{2} \\ x_{3}=-1/ \sqrt{2}$
Отметим данные значения на числовой прямой (см. рис).
Найдем значение производной на каждом из промежутков, чтобы определить поведение функции (убывает или возрастает). Если производная y'>0, то функция возрастает; если производная y'<0, то функция убывает.
Для примера рассмотрим промежуток от $1/ \sqrt{2}$ до +∞.
Возьмем любое число из этого промежутка. К примеру, 1.
$y'(1)=8*1^{3} -4*1=8-4=4\ \textgreater \ 0$, значит, функция возрастает на данном промежутке.
Аналогичным способом определяем поведения функции на других промежутках.
Поскольку при переходе через точку $x=\frac{1}{ \sqrt{2} }$ производная изменяет знак с "-" на "+", то эта точка является точкой минимума; при переходе через точку $x=0$ производная изменяет знак с "+" на "-", поэтому эта точка является точкой максимума; при переходе через точку $x=- \frac{1}{ \sqrt{2} }$ производная изменяет знак с "-" на "+", поэтому эта точка является точкой минимума.
Имеем 3 точки экстремума: $0, \frac{1}{ \sqrt{2} } , -\frac{1}{ \sqrt{2} }$
Найдем значение функции в точках экстремума, то есть найдем экстремумы функции:
$1) y(0)=2* 0^{4} -2*0^{2}=0 \\ 2) y( \frac{1}{ \sqrt{2} } )=2* \frac{1}{4} -2* \frac{1}{2} =- \frac{1}{2} \\ 3) y( -\frac{1}{ \sqrt{2} } )=2* \frac{1}{4} -2* \frac{1}{2} =- \frac{1}{2}$
Ответ: $0; - \frac{1}{2}$.

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции \(y = 2x^4 - 2x^2\), нужно найти её производные и приравнять их к нулю. Экстремумы функции обычно возникают там, где её производная равна нулю или не существует.

Давайте найдем производные:

1. Найдем первую производную \(y'\):

\[y' = 8x^3 - 4x\]

Теперь приравняем её к нулю и найдем значения \(x\):

\[8x^3 - 4x = 0\]

Вынесем общий множитель:

\[4x(2x^2 - 1) = 0\]

Таким образом, у нас есть два случая:

1. \(4x = 0\) (отсюда \(x = 0\)) 2. \(2x^2 - 1 = 0\) (отсюда \(x^2 = \frac{1}{2}\), что приводит к \(x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\))

Теперь мы имеем три критические точки: \(x = 0\), \(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

2. Теперь найдем вторую производную \(y''\):

\[y'' = 24x^2 - 4\]

3. Подставим найденные критические точки во вторую производную:

Для \(x = 0\): \(y''(0) = -4\) Для \(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\): \(y''\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 20\) Для \(x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\): \(y''\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 20\)

Теперь по второй производной можно сказать о характере точек:

1. \(x = 0\): \(y'' < 0\), значит, это точка максимума. 2. \(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\): \(y'' > 0\), значит, это точка минимума. 3. \(x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\): \(y'' > 0\), значит, это точка минимума.

Таким образом, функция \(y = 2x^4 - 2x^2\) имеет точку максимума при \(x = 0\) и две точки минимума при \(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).