Question

Интеграл от x*arcsin (1/x)

Answer 1

U= arcsin
du= dx/корень из (1-x^2) dv= xdx v= x^2:2 интеграл= x^2:2 aresinx интеграл x^ 2/2 * dx rjhtym bp (1x^2) =... = x^2/2 arcsin + корень из (1-x^2) + C

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям гласит:

∫u * v dx = u * ∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx

где u и v - функции, а u' и v' - их производные.

Для нашего интеграла ∫x * arcsin(1/x) dx, мы можем выбрать:

u = arcsin(1/x) => du/dx = -1/(x^2 * √(1 - 1/x^2)) dv/dx = x => v = x^2/2

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

∫x * arcsin(1/x) dx = (x^2/2) * arcsin(1/x) - ∫(x^2/2) * (-1/(x^2 * √(1 - 1/x^2))) dx

Упрощая выражение, получим:

∫x * arcsin(1/x) dx = (x^2/2) * arcsin(1/x) + ∫dx/2√(1 - 1/x^2)

Теперь давайте рассмотрим вторую часть интеграла:

∫dx/2√(1 - 1/x^2)

Для решения этого интеграла, мы можем сделать замену переменной. Пусть u = 1/x. Тогда du/dx = -1/x^2 и dx = -du/u^2. Подставляем это в интеграл:

∫dx/2√(1 - 1/x^2) = -∫du/2u√(1 - u^2)

Теперь мы получили новый интеграл, который можно решить с помощью тригонометрической замены. Пусть u = sin(t), тогда du = cos(t) dt. Подставляем это в интеграл:

-∫du/2u√(1 - u^2) = -∫cos(t)/(2sin(t)√(1 - sin^2(t))) dt

Упрощая выражение, получим:

-1/2 ∫dt = -t/2 + C

Теперь мы можем вернуться к исходному интегралу и подставить полученные значения:

∫x * arcsin(1/x) dx = (x^2/2) * arcsin(1/x) - t/2 + C

где t = arcsin(1/x) и C - постоянная интегрирования.

Таким образом, интеграл от x * arcsin(1/x) равен (x^2/2) * arcsin(1/x) - arcsin(1/x)/2 + C.