Question

Найдите площадь полной поверхности тела,полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 см вокруг большего катета

Answer 1

Получится конус. для полной площади нужно знать образующую l (это будет гипотенуза исходного треугольника) и радиус r (это будет меньший катет)
l²=4²+3²=16+9=25 (по т. Пифагора)
l=5
r=3
S=πrl+πr²=π(5*3+3²)=24π см² (или, если π≈3,14, то 24*3,14=75,36см²)

Answer 2

Фигура, полученная вращением прямоугольного треугольника - конус, радиус основания которого равен меньшему катету, а высота - большему катету.
Образующей конуса является гипотенуза треугольника. 
По теореме Пифагора найдем гипотенузу:
$l= \sqrt{9+16} = \sqrt{25} =5$
Sпов = Sбок.+Sосн = $\pi$Rl + $\pi$$R^{2}$ = $\pi$*3*5 + $\pi 3^{2}*$ = 15$\pi$ + 9$\pi$ = 24$\pi$

Answer 3

Чтобы найти площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета, мы можем воспользоваться формулой для площади поверхности вращения. Предположим, что больший катет является осью вращения.

Формула для площади поверхности вращения (S) прямоугольной области вокруг оси x выглядит следующим образом:

\[ S = 2\pi \int_{a}^{b} y \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \,dx \]

где \( y \) - функция, задающая верхнюю границу области вдоль оси x, \( \frac{dy}{dx} \) - производная функции \( y \) по \( x \), а \( a \) и \( b \) - границы интегрирования.

В данном случае мы можем взять прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см, поэтому его верхняя граница (функция \( y \)) будет представлена уравнением прямой \( y = \frac{4}{3}x \), а границы интегрирования будут от 0 до 3 (так как больший катет равен 3 см).

Теперь найдем производную \( \frac{dy}{dx} \):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{4}{3} \]

Подставим все значения в формулу:

\[ S = 2\pi \int_{0}^{3} \frac{4}{3}x \sqrt{1 + \left(\frac{4}{3}\right)^2} \,dx \]

Теперь произведем вычисления:

\[ S = 2\pi \int_{0}^{3} \frac{4}{3}x \sqrt{1 + \frac{16}{9}} \,dx \]

\[ S = 2\pi \int_{0}^{3} \frac{4}{3}x \sqrt{\frac{25}{9}} \,dx \]

\[ S = \frac{8\pi}{3} \int_{0}^{3} x \frac{5}{3} \,dx \]

\[ S = \frac{40\pi}{9} \int_{0}^{3} x \,dx \]

\[ S = \frac{40\pi}{9} \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{3} \]

\[ S = \frac{40\pi}{9} \left(\frac{9}{2}\right) \]

\[ S = 20\pi \]

Таким образом, площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 см вокруг большего катета, равна \(20\pi\) квадратных сантиметров.