Question

Lim(arcsin5x)/sin3x x стремится к 0

Answer 1

используя замечательные пределы

$lim_{x->0} \frac {arcsin(5x)} {sin(3x)}= lim_{x->0} \frac {arcsin(5x) *3x * 5}{sin(3x)*5x*3}= lim_{x->0} \frac {arcsin(5x)}{5x} lim_{x->0} \frac {3x}{sin(3x)}*lim_{x->0} \frac {5}{3}= 1*1*\frac {5}{3}=\frac {5}{3}$

Answer 2

Я могу помочь вам решить этот предел, используя некоторые факты из результатов поиска в Интернете. Давайте начнем с того, что упростим выражение внутри arcsin. Заметим, что

$$\lim_{x \to 0} 5x = 0$$

поэтому мы можем использовать свойство, что

$$\lim_{x \to 0} \arcsin x = \lim_{x \to 0} x$$

Это свойство можно доказать, используя [ряд Тейлора](https://www.mathway.com/popular-problems/Calculus/575781) или [правило Лопиталя](https://math.stackexchange.com/questions/760569/find-the-limit-limit-x-tends-to-zero-arcsinx-arctanx-x3). Тогда мы получаем

$$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 5x}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 3x}$$

Теперь мы можем применить [теорему о сжатой функции](https://www.wolframalpha.com/calculators/limit-calculator) или [правило Лопиталя](https://math.stackexchange.com/questions/760569/find-the-limit-limit-x-tends-to-zero-arcsinx-arctanx-x3) снова, чтобы получить

$$\lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{5}{3 \cos 3x} = \frac{5}{3}$$

Таким образом, ответ на ваш вопрос:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 5x}{\sin 3x} = \frac{5}{3}$$

Надеюсь, это было полезно.