Question

Острый угол параллелограмма ABCD равен 30°, а разность двух смежных сторон 4 см. Если известно, что периметр равен 92 см, определите площадь параллелограмма.

Answer 1

S=15,5*25=387,5
Ответ :387,5 см^2

Answer 2

Давайте обозначим стороны параллелограмма ABCD следующим образом:

- \(AB = a\) - \(BC = b\) - \(CD = a - 4\) (так как разность двух смежных сторон равна 4 см) - \(DA = b + (a - 4)\) (так как острый угол параллелограмма равен 30°, а сумма углов в параллелограмме равна 360°)

Теперь мы можем записать уравнение для периметра:

\[ P = AB + BC + CD + DA \]

Подставим известные значения:

\[ 92 = a + b + (a - 4) + [b + (a - 4)] \]

Упростим уравнение:

\[ 92 = 2a + 2b - 8 \]

\[ 2a + 2b = 100 \]

\[ a + b = 50 \]

Также мы можем использовать тот факт, что острый угол равен 30°:

\[ a = b \tan(30°) \]

\[ a = b \sqrt{3}/3 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ a + b = 50 \]

\[ a = b \sqrt{3}/3 \]

Решим эту систему. Умножим оба члена второго уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ 3a = b \sqrt{3} \]

Теперь подставим это в первое уравнение:

\[ 3a + b = 50 \]

\[ 3(\frac{b \sqrt{3}}{3}) + b = 50 \]

\[ b \sqrt{3} + b = 50 \]

\[ b(\sqrt{3} + 1) = 50 \]

\[ b = \frac{50}{\sqrt{3} + 1} \]

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3} - 1\), чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

\[ b = \frac{50(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \]

\[ b = \frac{50(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} \]

\[ b = 25(\sqrt{3} - 1) \]

Теперь мы можем найти значение \(a\):

\[ a = b \sqrt{3}/3 \]

\[ a = \frac{25(\sqrt{3} - 1)\sqrt{3}}{3} \]

\[ a = \frac{25(\sqrt{3} - 1)\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \]

\[ a = \frac{25 \cdot 3(\sqrt{3} - 1)}{3} \]

\[ a = 25(\sqrt{3} - 1) \]

Теперь у нас есть значения для \(a\) и \(b\). Мы можем использовать их, чтобы найти площадь параллелограмма:

\[ S = a \cdot h \]

где \(h\) - высота, опущенная на сторону \(b\). Мы знаем, что угол между \(a\) и \(h\) равен 30°. Таким образом, высота \(h\) может быть найдена как:

\[ h = b \sin(30°) \]

\[ h = b \cdot \frac{1}{2} \]

Теперь мы можем выразить площадь \(S\):

\[ S = a \cdot h \]

\[ S = 25(\sqrt{3} - 1) \cdot 25(\sqrt{3} - 1) \cdot \frac{1}{2} \]

\[ S = \frac{25^2 (\sqrt{3} - 1)^2}{2} \]

\[ S = \frac{625(3 - 2\sqrt{3} + 1)}{2} \]

\[ S = \frac{625(4 - 2\sqrt{3})}{2} \]

\[ S = \frac{3125 - 3125\sqrt{3}}{2} \]

Таким образом, площадь параллелограмма составляет \(\frac{3125 - 3125\sqrt{3}}{2}\) квадратных сантиметров.