Question

найдите все значения a, при которых уравнение 8a + корень(7+6x-x^2) = ax + 4 имеет единственный корень

Answer 1

8a+  v7+6x-x^2  =ax+4

8a+v7+6x-x^2   -ax-4=0

v7+6x-x^2   -a ( домножаем а на х)= -8a+4\x

v7+6x-x^2=-8а-ах+4\х

х сокращаются

v7+6x-x^2=-8a-a+4

v7+6x-x^2=-9a+4 чтобы избавиться от корня в левой части, возводим обе части в квадрат или во вторую степень

(v7+6x-x^2)^2=(-9a+4)^2

-x^2+6x+7=81a^2+16

-81a^2-16=x^2-6x-7

-81a^2=x^2-6x-7+16

-81a^2=x^2-6x+9

 

 

x^2-6x+9=0

D=b^2-4ac=36-4*1*9=36-36=0

x1,2=-b+-vD\2a

x1=6+0\2*1=3

x2=6-0\2*1=3  ====>

=======>    -81a^2=3

a^2=-3\81

т.к корня из отрицательного числа не существует, поделим обе части на -1

a^2=-3\81  |:(-1)

-a^2=3\81

a=+ -  -V3\81

P.S. Извиняюсь, что не пользовался редактором уравнений: слишком было бы долго.

v-корень

+  - пиши друг под другом 

границы корня я обозначил большим промежутком

8a+  v7+6x-x^2  =ax+4

8a+v7+6x-x^2   -ax-4=0

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и найдем все значения \(a\), при которых уравнение имеет единственный корень.

Уравнение имеет вид: \[8a + \sqrt{7 + 6x - x^2} = ax + 4\]

Для начала, давайте выразим корень через само выражение, чтобы упростить уравнение. Возводим обе стороны уравнения в квадрат: \[(8a + \sqrt{7 + 6x - x^2})^2 = (ax + 4)^2\]

Раскрываем скобки и упрощаем: \[64a^2 + 16a\sqrt{7 + 6x - x^2} + 7 + 6x - x^2 = a^2x^2 + 8ax + 16\]

Переносим все члены в одну сторону и упрощаем: \[a^2x^2 + (8a - 6 - 8a)\cdot x + (64a^2 - 16a\sqrt{7 + 6x - x^2} + 7 - 16) = 0\]

Теперь, чтобы у уравнения был единственный корень, дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае: \[D = (8a - 6 - 8a)^2 - 4a^2(64a^2 - 16a\sqrt{7 + 6x - x^2} + 7 - 16)\]

Упрощаем и приравниваем к нулю: \[(8a - 6 - 8a)^2 - 4a^2(64a^2 - 16a\sqrt{7 + 6x - x^2} + 7 - 16) = 0\]

Теперь решаем полученное уравнение относительно \(a\) и найденные значения \(a\) будут теми, при которых исходное уравнение имеет единственный корень.