Question

Дан треугольник ABC :A(6;4),B(-3;5),C(-2;-6).Найти уравнение медианы BK;координаты точки пересечения высот треугольника ABC;tg угла B

Answer 1

1) Медиана - отрезок, соединяющий вершину треугольника со серединой противоположной стороны.
$\\K({x_a+x_c\over2};{y_a+y_c\over2})\\ K(2;-1)\\ BK:{x+3\over2+3}={y-5\over-1-5}\\\\ BK:-6x-18-5y+25=0\\\\ BK:6x+5y-7=0$
2) Достаточно найти уравнения 2 высот, чтобы найти координаты точки пересечения.
Найдём уравнение прямой AC:
(x-6)/(-2-6)=(y-4)/(-6-4)
AC: -10x+60+8y-32=0
AC:10x-8y-28=0
AC: 5x-4y-14=0
Угловой коэффициент k прямой AC равен 5/4
высота BH₁ перпендикулярна стороне AC⇒  по свойству перпендикулярности k(AC)*k(BH₁)= -1⇒ k(BH₁)= -(4/5)
Зная k(BH₁), мы можем составить уравнение BH₁:
для этого мы возьмем уравнение пучка прямых, проходящих через точку B ( y-y₀=k(x-x₀) )
BH₁: y-5= -(4/5)*(x-(-3))
BH₁: y-5+(4/5)*x+(12/5)=0
BH₁: 4x+5y-13=0 - первая высота найдена
Теперь найдём вторую высоту, например AH2
найдем угловой коэффициент прямой BC:
BC: (x+3)/(-2+3)=(y-5)/(-6-5)
BC: -11x-33-y+5=0
BC: 11x+y+28=0
k(BC)= -11⇒k(AH₂)= (1/11)
Составим уравнение высоты AH₂:
Снова нужны координаты точки А и уравнение пучка прямых, проходящих через неё:
AH₂: y-4= (1/11)*(x-6)
AH₂: y-4-(1/11)*x+(6/11)=0
AH₂: x-11y+38=0

Сейчас составляем систему уравнений и находим точку пересечения этих двух прямых:

x-11y+38=0
4x+5y-13=0

Метод Гаусса:
1 -11  -38              1   -11  -38    
                  ⇒
4   5   13               0    49  165

49y=165
y=165/49

x-11*(165/49)= -38
x=(11*165)/49-38
x=(11*165-49*38)/49
x= -(47/49)
Пусть N - точка пересечения высот, тогда N(-47/49;165/49)

3)
Тангенс угла между двумя прямыми y=k1x+b1,y=k2x+b2y=k1x+b1, y=k2x+b2на плоскости определяется по формуле tg α=(k2−k1)/(1−k1*k2)

Нам нужны 2 прямые: BA и BC
BC уже найдено:11x+y+28=0
осталось найти BA
BA: (x+3)/(6+3)=(y-5)/(4-5)
BA: -x-3-9y+45=0
BA: x+9y-42=0

k(BC)= -11
k(BA)= -(1/9)
tg∠B= (-11-(-1/9))/(1-(-11*(-1/9)))=49

Answer 2

Давай начнём с расчета различных элементов треугольника ABC.

1. Уравнение медианы BK: Медиана треугольника соединяет вершину с противолежащей стороной так, что делит эту сторону пополам. В данном случае, медиана BK идет от вершины B до середины отрезка AC.

Найдем координаты середины отрезка AC: A(6;4), C(-2;-6) Середина отрезка AC: ((6 - 2) / 2, (4 - 6) / 2) = (2, -1)

Уравнение прямой, проходящей через точки B(-3;5) и середины отрезка AC(2, -1), можно найти используя уравнение прямой в общем виде:

\(y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)\)

Здесь \(x_1, y_1\) - координаты B, а \(x_2, y_2\) - координаты середины AC.

\(y - 5 = \frac{-1 - 5}{2 - (-3)}(x + 3)\) \(y - 5 = \frac{-6}{5}(x + 3)\) \(y = -\frac{6}{5}x + \frac{3}{5}\)

Полученное уравнение \(y = -\frac{6}{5}x + \frac{3}{5}\) - это уравнение прямой медианы BK.

2. Координаты точки пересечения высот треугольника ABC: Чтобы найти точку пересечения высот треугольника, нужно определить уравнения прямых, на которых лежат высоты.

Высоты треугольника пересекаются в его ортоцентре. Для нахождения ортоцентра, нужно найти точку пересечения высот. Высоты проходят через вершины треугольника под прямыми углами к соответствующим сторонам.

Давай найдем уравнения прямых, на которых лежат высоты. Начнем с высоты из вершины A, проходящей через точку C(-2;-6).

Уравнение прямой проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2) имеет вид: \(y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)\)

Координаты середины отрезка BC: \((\frac{-3 - 2}{2}, \frac{5 - 6}{2}) = (-\frac{5}{2}, -\frac{1}{2})\)

Уравнение прямой, проходящей через A(6;4) и середину BC \((-5/2, -1/2)\): \(y - 4 = \frac{-1/2 - 4}{-5/2 - 6}(x - 6)\) \(y - 4 = \frac{-9/2}{-17/2}(x - 6)\) \(y - 4 = \frac{9}{17}(x - 6)\) \(y = \frac{9}{17}x - \frac{54}{17} + 4\) \(y = \frac{9}{17}x - \frac{14}{17}\)

Теперь, чтобы найти точку пересечения этой прямой с уравнением медианы BK, решим систему уравнений: \(\begin{cases} y = -\frac{6}{5}x + \frac{3}{5} \\ y = \frac{9}{17}x - \frac{14}{17} \end{cases}\)

Подставим второе уравнение в первое: \(-\frac{6}{5}x + \frac{3}{5} = \frac{9}{17}x - \frac{14}{17}\)

Решив это уравнение, найдем x и затем подставим его для нахождения y.

3. tg угла B: Тангенс угла B может быть найден как отношение противоположенного катета к прилежащему катету. В данном случае, угол B находится напротив стороны AC.

Для нахождения тангенса угла B воспользуемся координатами вершин A и C. tg(B) = \(\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{|y_2 - y_1|}{|x_2 - x_1|}\) tg(B) = \(\frac{|-6 - 4|}{|-2 - 6|} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}\)

Теперь, если есть что-то конкретное, с чем ты хочешь продолжить, или если нужно что-то пояснить подробнее, дай знать!