Question

Найдите параметр а для которого 5x²−x+5a=0 равенства корни соответствуют 4x1²−3x1x2+4x2²=54÷25

Answer 1

Уравнение 5x^2 - x + 5a = 0 по теореме Виета имеет такие корни, что
{ x1 + x2 = -(-1)/5 = 1/5
{ x1*x2 = 5a/5 = a
Заданное равенство
4x1^2 - 3x1*x2 + 4x2^2 = 4(x1^2 + x2^2) - 3x1*x2 =
= 4(x1^2 + 2x1*x2 + x2^2 - 2x1*x2) - 3x1*x2 =
= 4(x1 + x2)^2 - 8x1*x2 - 3x1*x2 = 4(x1 + x2)^2 - 11x1*x2 =
= 4*(1/5)^2 - 11a = 4/25 - 11a = 54/25
-11a = 50/25 = 2
a = -2/11

Answer 2

Чтобы найти параметр a, для которого уравнение 5x² - x + 5a = 0 имеет корни, соответствующие уравнению 4x1² - 3x1x2 + 4x2² = 54/25, мы можем использовать метод сопряженных корней.

Для начала, давайте рассмотрим уравнение 4x1² - 3x1x2 + 4x2² = 54/25. Это квадратное уравнение с двумя переменными x1 и x2. Мы можем записать его в виде квадратного трехчлена:

(2x1 - x2)² = 54/25

Теперь давайте рассмотрим уравнение 5x² - x + 5a = 0. Это также квадратное уравнение с переменной x. Чтобы найти параметр a, мы должны найти значения x, при которых это уравнение имеет корни.

Сопоставив два уравнения, мы можем заметить, что коэффициенты перед x² в обоих уравнениях равны 5. Это означает, что у нас есть связь между x и x1, x2. Мы можем использовать эту связь для нахождения значения параметра a.

Найдем x1 и x2, используя уравнение (2x1 - x2)² = 54/25:

2x1 - x2 = ±√(54/25)

Теперь мы можем заменить x1 и x2 в уравнении 5x² - x + 5a = 0, используя найденные значения:

5x² - x + 5a = 0 5(x1 + x2)² - (x1 + x2) + 5a = 0 5(√(54/25))² - √(54/25) + 5a = 0

Вычислим это выражение:

5(54/25) - √(54/25) + 5a = 0 54/5 - √(54/25) + 5a = 0 54/5 - 2√(54)/5 + 5a = 0

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной a. Мы можем решить его, чтобы найти значение параметра a:

54/5 - 2√(54)/5 + 5a = 0 5a = -54/5 + 2√(54)/5 a = (-54 + 2√(54))/25

Таким образом, значение параметра a, при котором корни уравнения 5x² - x + 5a = 0 соответствуют уравнению 4x1² - 3x1x2 + 4x2² = 54/25, равно (-54 + 2√(54))/25.