Question

1/2arctg√3+2arcctg1/√3. Помогите решить пожалуйста срочно нужно или меня могут отчислить

Answer 1

Ответ смотри во вложении

Answer 2

Конечно, давайте решим вашу задачу.

Дано: \( \frac{1}{2} \arctan(\sqrt{3}) + 2 \text{arccot}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \).

Для упрощения задачи, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для арктангенса и арккотангенса:

1. \( \arctan(x) = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) \) 2. \( \text{arccot}(x) = \arctan\left(\frac{1}{x}\right) \)

Применим эти тождества к вашему выражению:

\[ \frac{1}{2} \arctan(\sqrt{3}) + 2 \text{arccot}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \]

1. Заменяем \(\arctan(\sqrt{3})\) с использованием тождества 1:

\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{1 - (\sqrt{3})^2}\right) + 2 \text{arccot}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \]

\[ \frac{1}{4} \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{1 - 3}\right) + 2 \text{arccot}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \]

\[ \frac{1}{4} \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{-2}\right) + 2 \text{arccot}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \]

\[ \frac{1}{4} \arctan(-\sqrt{3}) + 2 \text{arccot}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \]

2. Заменяем \(\text{arccot}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\) с использованием тождества 2:

\[ \frac{1}{4} \arctan(-\sqrt{3}) + 2 \arctan(\sqrt{3}) \]

Теперь мы можем объединить эти два тригонометрических выражения в одно. Используем тождество \(\arctan(x) + \arctan(y) = \arctan\left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)\):

\[ \arctan(a) + \arctan(b) = \arctan\left(\frac{a + b}{1 - ab}\right) \]

Где \(a = -\sqrt{3}\) и \(b = 2\sqrt{3}\):

\[ \frac{1}{4} \arctan(-\sqrt{3}) + 2 \arctan(\sqrt{3}) = \arctan\left(\frac{-\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{1 - (-\sqrt{3})(2\sqrt{3})}\right) \]

\[ = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1 + 6}\right) \]

\[ = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{7}\right) \]

Итак, ваше выражение равно \( \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{7}\right) \).

Answer 3

Конечно, я готов помочь! Давайте разберемся с выражением \( \frac{1}{2}\arctan(\sqrt{3}) + 2\text{arccot}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \).

1. Начнем с первого члена: \( \frac{1}{2}\arctan(\sqrt{3}) \).

Мы знаем, что \(\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}\) (это также можно увидеть, рассматривая треугольник с углом в \(60^\circ\), где \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\)).

Подставим это значение в исходное уравнение:

\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} \]

2. Теперь перейдем ко второму члену: \( 2\text{arccot}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \).

Мы знаем, что \(\text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2} - \arctan(x)\). Подставим \(x = \frac{1}{\sqrt{3}}\):

\[ \text{arccot}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \]

Мы уже знаем, что \(\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}\), поэтому:

\[ \text{arccot}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} \]

Теперь умножим это значение на 2:

\[ 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \]

Итак, суммируем результаты:

\[ \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \]

Таким образом, значение выражения \( \frac{1}{2}\arctan(\sqrt{3}) + 2\text{arccot}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \) равно \( \frac{\pi}{2} \).