Question

Найдите производную функции s=t/e^t и вычислите s`(0)

Answer 1

$s= \frac{t}{e^{t}}\\\\s'= \frac{e^{t}-t\cdot e^{t}}{e^{2t}}=\frac{e^{t}\cdot (1-t)}{e^{2t}}= \frac{1-t}{e^{t}}\\\\s'(0)= \frac{1-0}{e^0}= \frac{1}{1}=1$

Answer 2

Для нахождения производной функции \(s(t) = \frac{t}{e^t}\), воспользуемся правилом дифференцирования частного и производной от \(e^t\).

1. Находим производную \(s(t)\):

Имеем \(\frac{d}{dt}(\frac{t}{e^t})\).

Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности:

Числитель: \(\frac{d}{dt}(t) = 1\).

Знаменатель: \(\frac{d}{dt}(e^t) = e^t\).

Теперь используем правило дифференцирования частного:

\[\frac{d}{dt}(\frac{t}{e^t}) = \frac{1 \cdot e^t - t \cdot e^t}{(e^t)^2} = \frac{e^t - t \cdot e^t}{e^{2t}}.\]

2. Вычисляем \(s'(0)\):

Подставим \(t = 0\) в выражение для производной:

\[s'(0) = \frac{e^0 - 0 \cdot e^0}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{1 - 0}{1} = 1.\]

Таким образом, производная функции \(s(t) = \frac{t}{e^t}\) равна \(\frac{e^t - t \cdot e^t}{e^{2t}}\), а значение производной в точке \(t = 0\) равно 1.