Question

TgX*cos3X+sin3X=sin4X с подробным решением, пожалуйста. и число корней входящих в отрезок [п/4; 7п/4]

Answer 1

$tg(x)\cdot \cos 3x+\sin3x=\sin4x\\ \frac{\sin x}{\cos x} \cdot(4\cos^3x-3\cos x)+3\sin x-4\sin^3 x=2\sin2x\cos2x\\ \\ \sin x(4\cos^2x-3)+3\sin x-4\sin^3x=2\sin2x\cos2x\\ \\ 4\cos^2x\sin x-3\sin x+3\sin x-4\sin^3x=2\sin2x\cos2x\\ \\ 4\cos^2x\sin x-4\sin^3x-4\sin x\cos x=0\\ \\ 4\sin x(\cos^2x-\sin^2x-\cos x\cos 2x)=0\\ \boxed{\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x}\\ 4\sin x(\cos2x-\cos x\cos2x)=0\\ 4\sin x\cos 2x(1-\cos x)=0$

Произведение равно нулю
$\left[\begin{array}{ccc}4\sin x=0\\ \cos 2x=0\\ 1-\cos x=0\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}\sin x=0\\\cos2x=0\\ \cos x=1\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x= \pi k,k \in Z\\ x= \frac{\pi}{4}+ \frac{\pi n}{2},n \in Z\\ x=2\pi n,n \in Z \end{array}\right$

Отбор корней
$k=1;\,\,\,\,x=\pi\\ n=0;\,\,\,\,x= \frac{\pi}{4} \\ n=1;\,\,\,\,x= \frac{3\pi}{4} \\n=2;\,\,\,\,x= \frac{5\pi}{4} \\n=3;\,\,\,\,x= \frac{7\pi}{4}$

Answer 2

Данное уравнение выглядит следующим образом:

TgX*cos3X+sin3X=sin4X+c

Для решения данного уравнения, нам необходимо найти значения переменной X, которые удовлетворяют данному уравнению.

Первоначальное решение:

1. Приведем уравнение к более простому виду. Воспользуемся тригонометрическими формулами: TgX*cos3X+sin3X=sin4X+c TgX*cos3X+sin3X=sin2X*cos2X+cos2X*sin2X+c TgX*cos3X+sin3X=2*sin2X*cos2X+c

2. Заменим тригонометрические функции на известные значения: TgX*(cosX*cos2X - sinX*sin2X) + sin3X = 2*(sinX*cosX)*(cosX*cosX - sinX*sinX) + c

3. Раскроем скобки и упростим уравнение: TgX*cosX*cos2X - TgX*sinX*sin2X + sin3X = 2*sinX*cosX*cos2X - 2*sinX*sinX*cosX*cosX + c

4. Перенесем все члены в левую часть уравнения: TgX*cosX*cos2X - 2*sinX*cosX*cos2X + TgX*sinX*sin2X - sin3X + 2*sinX*sinX*cosX*cosX - c = 0

5. Упростим уравнение: cosX*cos2X*(TgX - 2*sinX) + sinX*sin2X*(TgX - 1) - sin3X + 2*sinX*sinX*cosX*cosX - c = 0

Дальнейшие шаги решения:

Уравнение имеет сложный вид и его решение требует дополнительных математических методов. Я могу предоставить вам численное решение данного уравнения, используя численные методы, такие как метод Ньютона или метод дихотомии. Однако, для точного аналитического решения, потребуется более глубокий анализ.

Число корней на отрезке [п/4; 7п/4]:

Чтобы определить число корней уравнения на заданном отрезке, мы должны проанализировать поведение функции на этом отрезке. Однако, так как у нас есть сложное уравнение с тригонометрическими функциями, определить точное число корней на данном отрезке не всегда возможно.

Чтобы приближенно определить число корней, мы можем использовать метод перебора значений функции на отрезке [п/4; 7п/4] и найти значения, при которых функция меняет знак. Это может помочь нам приближенно определить число корней.

Однако, для точного числа корней и аналитического решения, необходимо провести более глубокий анализ данного уравнения.