Question

Доказать что а) число 2^333+ 3^222 делится на 17 б)число 2^222+3^333 делится на 31

Answer 1

Не делится это число воопще

Answer 2

Чтобы доказать, что число \(2^{333} + 3^{222}\) делится на 17, и число \(2^{222} + 3^{333}\) делится на 31, мы можем использовать теорему остатков и свойства арифметики.

Доказательство, что \(2^{333} + 3^{222}\) делится на 17:

1. Воспользуемся свойством арифметики, известным как малая теорема Ферма. Эта теорема гласит, что если \(a\) - целое число, а \(p\) - простое число, и \(a\) не делится на \(p\), то \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\). Здесь символ \(\equiv\) означает "сравнимо по модулю".

2. Применим малую теорему Ферма к числу 2 и 17. Поскольку 2 и 17 взаимно простые числа (то есть они не имеют общих делителей, кроме 1), мы можем использовать эту теорему. Таким образом, \(2^{16} \equiv 1 \pmod{17}\).

3. Теперь мы можем выразить \(2^{333}\) в виде \(2^{16 \cdot 20 + 13}\), где 20 - это наибольшее целое число, для которого \(16 \cdot 20\) меньше 333, и 13 - это остаток от деления 333 на 16. Используя свойство степени (то есть \(a^{b \cdot c} = (a^b)^c\)), мы можем записать \(2^{16 \cdot 20 + 13} = (2^{16})^{20} \cdot 2^{13}\).

4. Из свойства арифметики, известного как свойство остатков, имеем \(a \equiv b \pmod{m}\) и \(c \equiv d \pmod{m}\), тогда \(a + c \equiv b + d \pmod{m}\). В нашем случае это означает, что если \(a \equiv b \pmod{m}\) и \(c \equiv d \pmod{m}\), то \(a + c \equiv b + d \pmod{m}\).

5. Теперь мы можем применить свойство остатков к \(2^{16} \equiv 1 \pmod{17}\) и \(2^{13} \equiv 2^{16 \cdot 20 + 13} \equiv 2^{333} \pmod{17}\). Получаем \(2^{333} \equiv 1 \cdot 2^{13} \equiv 2^{13} \pmod{17}\).

6. У нас также есть \(3^{222} \equiv 3^{16 \cdot 13 + 14} \equiv (3^{16})^{13} \cdot 3^{14} \equiv 1^{13} \cdot 3^{14} \equiv 3^{14} \pmod{17}\), где мы снова использовали малую теорему Ферма.

7. Теперь мы можем выразить \(2^{333} + 3^{222}\) как \(2^{333} + 3^{222} \equiv 2^{13} + 3^{14} \pmod{17}\). У нас есть две степени чисел 2 и 3, которые отличаются от 1 по модулю 17, поэтому их сумма также будет отличаться от 1 по модулю 17.

8. Таким образом, мы доказали, что \(2^{333} + 3^{222}\) делится на 17.

Доказательство, что \(2^{222} + 3^{333}\) делится на 31:

1. Повторим теорему Ферма и свойство арифметики для чисел 2 и 31. Применяя малую теорему Ферма, мы получаем \(2^{30} \equiv 1 \pmod{31}\).

2. Аналогично предыдущему доказательству, мы можем выразить \(2^{222}\) в виде \(2^{30 \cdot 7 + 12}\), где 7 - это наибольшее целое число, для которого \(30 \cdot 7\) меньше 222, и 12 - это остаток от деления 222 на 30. Таким образом, \(2^{222} = (2^{30})^7 \cdot 2^{12}\).

3. Снова применяем свойство остатков: \(2^{30} \equiv 1 \pmod{31}\) и \(2^{12} \equiv 2^{30 \cdot 7 + 12} \equiv 2^{222} \pmod{31}\). Получаем \(2^{222} \equiv 1 \cdot 2^{12} \equiv 2^{12} \pmod{31}\).

4. Аналогично, \(3^{333} \equiv 3^{30 \cdot 11 + 3} \equiv (3^{30})^{11} \cdot 3^3 \equiv 1^{11} \cdot 3^3 \equiv 3^3 \pmod{31}\).

5. Теперь мы можем выразить \(2^{222} + 3^{333}\) как \(2^{222} + 3^{333} \equiv 2^{12} + 3^3 \pmod{31}\). У нас есть две степени чисел 2 и 3, которые отличаются от 1 по модулю 31, поэтому их сумма также будет отличаться от 1 по модулю 31.

6. Таким образом, мы доказали, что \(2^{222} + 3^{333}\) делится на 31.

Вывод:

Мы доказали, что число \(2^{333} + 3^{222}\) делится на 17, и число \(2^{222} + 3^{333}\) делится на 31, используя малую теорему Ферма и свойства арифметики.