Question

Исследуйте функциб и постройте ее график. d(x)= - 1/3x^3+x^2+3x-4

Answer 1

У=(-1/3)·х³+х²+3х-4
Область определения функции D(y)= (-≈: +≈)
Найдем производную функции
у`= (-1/3)·3х²+2х+3
у`=-x²+2x+3,
Найдем точки возможного экстремума, для этого производную приравняем к нулю
-х²+2х+3=0
х²-2х-3=0
D=(-2)²-4·(-3)=4+12=16
x₁=(2-4)/2  или х₂=(2+4)/2
х₁=-1  или х₂=3

далее смотрите во вложении

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию \( d(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x - 4 \). Чтобы исследовать её, выполним следующие шаги:

1. Найдем производные: - Первая производная (\(d'(x)\)) для определения экстремумов и точек перегиба. - Вторая производная (\(d''(x)\)) для анализа выпуклости/вогнутости.

2. Решим уравнение \(d'(x) = 0\) для нахождения критических точек.

3. Найдем точки перегиба, решив уравнение \(d''(x) = 0\).

4. Анализируем поведение функции в точках, найденных на предыдущих этапах: - Исследуем знаки производных в интервалах между критическими точками и точками перегиба. - Определяем значения функции в критических точках и на бесконечностях.

5. Строим график функции.

Давайте начнем с первого шага и найдем первую и вторую производные:

1.1 Первая производная (\(d'(x)\)): \[d'(x) = -x^2 + 2x + 3.\]

1.2 Вторая производная (\(d''(x)\)): \[d''(x) = -2x + 2.\]

Теперь решим уравнение \(d'(x) = 0\) для нахождения критических точек:

\[-x^2 + 2x + 3 = 0.\]

Факторизуем или используем квадратное уравнение:

\[x^2 - 2x - 3 = 0.\]

Решениями этого уравнения будут \(x = -1\) и \(x = 3\). Теперь найдем значения второй производной в точках перегиба:

\[d''(-1) = 0 - 2 \cdot (-1) + 2 = 0 + 2 + 2 = 4,\] \[d''(3) = 0 - 2 \cdot 3 + 2 = 0 - 6 + 2 = -4.\]

Таким образом, у нас есть две критические точки (-1 и 3) и две точки перегиба (-1 и 3). Теперь проанализируем поведение функции:

- В интервале \((-\infty, -1)\): \(d'(-2) = (-(-2)^2 + 2(-2) + 3) = 7 > 0\), так что функция возрастает. - В интервале \((-1, 3)\): \(d'(0) = -(0)^2 + 2(0) + 3 = 3 > 0\), так что функция также возрастает. - В интервале \((3, +\infty)\): \(d'(4) = -(4)^2 + 2(4) + 3 = -7 < 0\), так что функция убывает.

Также важно учесть значения второй производной в точках перегиба:

- В точке перегиба x = -1: \(d''(-1) = 4 > 0\), значит, функция в этой точке выпукла вверх. - В точке перегиба x = 3: \(d''(3) = -4 < 0\), значит, функция в этой точке выпукла вниз.

Теперь найдем значения функции в критических точках и на бесконечностях:

- \(d(-1) = -\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 3(-1) - 4 = \frac{1}{3} - 1 - 3 - 4 = -\frac{20}{3}\) - \(d(3) = -\frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2 + 3(3) - 4 = -9 + 9 + 9 - 4 = 5\) - \(d(-\infty) = -\infty\) (так как кубический член доминирует) - \(d(\infty) = -\infty\) (так как кубический член доминирует)

Теперь мы можем построить график функции. Однако, без доступа к графическому инструменту, я не могу предоставить вам конкретное изображение, но я могу описать, как он будет выглядеть.

График будет иметь точки экстремума в точках (-1, -20/3) и (3, 5). Он будет возрастать в интервалах (-∞, -1) и (-1, 3), и убывать в интервале (3, +∞). В точке перегиба x = -1 график будет выпуклым вверх, а в точке перегиба x = 3 - выпуклым вниз. График также стремится к бесконечности при x → -∞ и x → +∞.