Question

Помогите решить неопределенный интеграл x/sqrt(2-x^4)

Answer 1

 $\int{\frac{x}{\sqrt{2-x^4}}}\, dx$ под знак дифф заносим (x²)

 

$\int{\frac{x}{2x\sqrt{2-x^4}}}\, d(x^2)=\frac{1}2\int{\frac{d(x^2)}{\sqrt{2-x^4}}}=\frac{1}2arcsin\frac{x^2}{sqrt{2}}+C$

Answer 2

∫ x / √(2-x^4) dx = 

 

подстановка  x² = t       2x dx = dt

 

= 1/2  ∫ dt / √(2-t²) = 1/2*arcsin ( t / √2 ) + c = 1/2*arcsin ( x² / √2) + c

Answer 3

Конечно, я могу помочь вам решить этот неопределенный интеграл. Давайте разберемся подробнее.

Неопределенный интеграл, который вы хотите решить, имеет вид: ∫ x/√(2 - x^4) dx

Для решения этого интеграла мы можем воспользоваться методом замены переменной.

Шаг 1: Замена переменной

Для начала, давайте введем новую переменную замены: u = x^2

Шаг 2: Нахождение производной и дифференциалов

Теперь найдем производную u по x: du/dx = 2x

Шаг 3: Замена переменных в интеграле

Подставим нашу замену переменной в исходный интеграл: ∫ x/√(2 - x^4) dx = ∫ (1/2) * (2x) / √(2 - (x^2)^2) dx = (1/2) * ∫ du / √(2 - u^2)

Шаг 4: Решение простого интеграла

Теперь рассмотрим простой интеграл: ∫ du / √(2 - u^2)

Для решения этого интеграла мы можем воспользоваться подстановкой или тригонометрической заменой. В данном случае, наиболее удобной будет использовать тригонометрическую замену.

Шаг 5: Тригонометрическая замена

Введем новую переменную замены: u = √2 * sinθ

Шаг 6: Нахождение производной и дифференциалов

Теперь найдем производную u по θ: du/dθ = √2 * cosθ

Шаг 7: Замена переменных в интеграле

Подставим нашу замену переменной в интеграл: ∫ du / √(2 - u^2) = ∫ (1/√2 * cosθ) / √(2 - (√2 * sinθ)^2) dθ = (1/√2) * ∫ cosθ / √(2 - 2sin^2θ) dθ

Шаг 8: Упрощение выражения

Мы можем упростить выражение под знаком корня, используя тригонометрическую тождественность: 2 - 2sin^2θ = 2cos^2θ

Шаг 9: Новая замена переменной

Введем новую переменную замены: v = cosθ

Шаг 10: Нахождение производной и дифференциалов

Теперь найдем производную v по θ: dv/dθ = -sinθ

Шаг 11: Замена переменных в интеграле

Подставим нашу замену переменной в интеграл: (1/√2) * ∫ cosθ / √(2 - 2sin^2θ) dθ = (1/√2) * ∫ (1/√2v) / √(2 - 2(1 - v^2)) (-dv) = (1/2) * ∫ dv / √(v^2) = (1/2) * ln|v| + C

Шаг 12: Обратные замены

Теперь, чтобы получить исходный интеграл от x, мы должны вернуться к исходным переменным x и θ.

Вспомним, что: v = cosθ u = √2 * sinθ

Шаг 13: Обратная замена переменных в интеграле

Подставим обратные замены в интеграл: (1/2) * ln|v| + C = (1/2) * ln|cosθ| + C = (1/2) * ln|√2 * cos(θ/2)| + C = (1/2) * ln|√2 * cos(arcsin(u/√2))| + C = (1/2) * ln|√2 * √(1 - (u/√2)^2)| + C = (1/2) * ln|√2 * √(2 - u^2/2)| + C = (1/2) * ln|√2 * √(2 - x^2)| + C

Шаг 14: Финальное решение

Исходный неопределенный интеграл равен: ∫ x/√(2 - x^4) dx = (1/2) * ln|√2 * √(2 - x^2)| + C

Где C - произвольная постоянная интегрирования.

Надеюсь, это решение помогло вам. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!