Question

Для функции f(x) = x^3+6x^2-2x+3 найти ту первообразную график которой проходит через точку М(3;-1)

Answer 1

Воооооооооооооооооооооооооот

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = x^3 + 6x^2 - 2x + 3 \), проходящей через точку \( M(3, -1) \), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите общую первообразную функции \( f(x) \) путем интегрирования каждого члена по отдельности.

2. В общем виде первообразной добавьте произвольную постоянную \( C \), так как при взятии производной постоянная исчезнет.

3. Используйте условие, что график проходит через точку \( M(3, -1) \), чтобы определить конкретное значение постоянной \( C \).

Давайте выполним эти шаги:

1. Найдем общую первообразную:

\[ F(x) = \int (x^3 + 6x^2 - 2x + 3) \,dx \]

\[ F(x) = \frac{1}{4}x^4 + 2x^3 - x^2 + 3x + C \]

2. Добавим постоянную:

\[ F(x) = \frac{1}{4}x^4 + 2x^3 - x^2 + 3x + C \]

3. Теперь используем условие \( M(3, -1) \):

\[ -1 = \frac{1}{4}(3)^4 + 2(3)^3 - (3)^2 + 3(3) + C \]

Решив это уравнение, найдем значение постоянной \( C \).

\[ -1 = \frac{81}{4} + 54 - 9 + 9 + C \]

\[ -1 = \frac{81}{4} + 54 + C \]

\[ C = -\frac{1}{4} - 54 \]

\[ C = -\frac{217}{4} \]

Таким образом, первообразная функции \( f(x) \), проходящая через точку \( M(3, -1) \), имеет вид:

\[ F(x) = \frac{1}{4}x^4 + 2x^3 - x^2 + 3x - \frac{217}{4} \]