Question

При каком значении параметра a значение выражения x21+x22 будет наименьшим, если x1, x2 — корни уравнения x2+ax+a–2=0?

Answer 1

$x^2+ax+a-2=0\\ x_{1}+x_{2}=-a\\ x_{1}*x_{2}=a-2\\ \\ x_{1}^2+x_{2}^2=(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}*x_{2}=a^2-2*(a-2)=a^2-2a+4\\ \\ f(a)=a^2-2a+4=0\\ f'(a)=2a-2\\ 2a-2=0\\ a=1$
Ответ при $a=1$ будет наименьшим 

Answer 2

Дано уравнение x^2 + ax + a - 2 = 0.

Чтобы найти наименьшее значение выражения x1^2 + x2^2, где x1 и x2 - корни уравнения, нужно найти минимум функции f(x) = x^2.

Заметим, что x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2.

Мы знаем, что сумма корней уравнения равна -a, а произведение корней равно a - 2.

Тогда (x1 + x2)^2 = (-a)^2 = a^2.

Из этого следует, что x1^2 + x2^2 = a^2 - 2(a - 2) = a^2 - 2a + 4.

Теперь нужно найти минимум этой функции. Для этого найдем значение a, при котором производная функции равна нулю:

f'(a) = 2a - 2 = 0.

2a = 2, a = 1.

Таким образом, при значении параметра a = 1, значение выражения x1^2 + x2^2 будет наименьшим.